Дана функция f(x) = |4 - 8 / (x - 2)|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Построение графика функции y = |4 - 8 / (x - 2)|

• Шаг 1: Строим график функции y = 8 / (x - 2). Это гипербола с центром в точке (2, 0). Асимптоты: x = 2 (вертикальная) и y = 0 (горизонтальная).
• Шаг 2: Строим график функции y = 4 - 8 / (x - 2). Это преобразование предыдущего графика: смещение на 4 единицы вверх. Горизонтальная асимптота теперь y = 4.
• Шаг 3: Строим график функции y = |4 - 8 / (x - 2)|. Это означает, что все значения ниже оси x отражаются вверх. Там, где график был выше или на оси x, он остается без изменений.

Поиск значений c, при которых уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение

График функции y = |4 - 8 / (x - 2)| состоит из двух частей, симметричных относительно оси x, где значения функции были отрицательными. Горизонтальная прямая y = c будет пересекать этот график ровно один раз в следующих случаях:

1. Случай 1: Прямая y = c совпадает с верхней асимптотой графика, то есть c = 4. В этом случае прямая будет параллельна одной из ветвей гиперболы, но не будет её пересекать. Таким образом, при c = 4 решений нет. (Примечание: если бы мы строили график 4 - 8/(x-2), то при y=4 решений не было бы. Но так как мы берем модуль, то есть отражаем отрицательные значения, то ситуация может измениться.)
2. Случай 2: Прямая y = c проходит через точку излома графика, где произошло отражение. Эта точка соответствует максимуму отраженной части. Найдем ее. Отражение происходит там, где 4 - 8/(x-2) < 0. Это неравенство решается так: 4 < 8/(x-2). Если x > 2, то 4(x-2) < 8, 4x - 8 < 8, 4x < 16, x < 4. Значит, для x ∈ (2, 4) функция 4 - 8/(x-2) отрицательна. Точка излома будет при x, где 4 - 8/(x-2) = 0, то есть 4 = 8/(x-2), 4(x-2) = 8, x-2 = 2, x = 4. Значение функции в этой точке: f(4) = |4 - 8/(4-2)| = |4 - 8/2| = |4 - 4| = 0. Таким образом, прямая y = 0 пересекает график в двух точках (одна из них точка излома, другая — точка, где исходный график был на оси x).
3. Случай 3: Прямая y = c проходит через вершину отраженной части графика. Вершина отраженной части соответствует точке, где значение 4 - 8/(x-2) было минимальным (наиболее отрицательным). Чтобы найти это значение, нужно найти минимум функции 8/(x-2) при x < 2. Чем ближе x к 2 (но меньше 2), тем больше по модулю отрицательное значение 8/(x-2). Значит, 4 - 8/(x-2) будет стремиться к бесконечности (положительной). Нам нужно найти точку, где 4 - 8/(x-2) = 0. Мы уже нашли, что это x=4. Наша задача — найти, когда `f(x) = c` имеет ровно одно решение. Это происходит, когда прямая `y=c` касается «верхней» точки графика. Верхняя асимптота `y=4` не пересекает график. Значит, нужно найти случаи, когда `y=c` будет касаться отраженной части графика. Максимальное значение отраженной части графика будет достигаться, когда `4 - 8/(x-2)` максимально отрицательно. Это произойдет, когда `8/(x-2)` будет максимально положительным (при x > 2) или максимально отрицательным (при x < 2). Вернемся к графику y = 4 - 8/(x-2). У этой функции есть горизонтальная асимптота y = 4. Когда мы берем модуль, отражаем часть графика, где y < 0. Точка, где y=0, это x=4. То есть график пересекает ось x в точке x=4. При x > 2, график стремится к +бесконечности. При x < 2, график стремится к -бесконечности. После отражения, часть графика, где y < 0, теперь находится выше оси x. Максимальное значение в отраженной части будет там, где исходная функция была минимальной. Давайте найдем точку, где 4 - 8/(x-2) = 0. Это x = 4. Значение f(4) = 0. Теперь рассмотрим асимптоты: y=4. И x=2. При x -> 2+ , 8/(x-2) -> +inf, 4 - 8/(x-2) -> -inf. После модуля: +inf. При x -> 2- , 8/(x-2) -> -inf, 4 - 8/(x-2) -> +inf. После модуля: +inf. При x -> +inf, 8/(x-2) -> 0, 4 - 8/(x-2) -> 4. После модуля: 4. При x -> -inf, 8/(x-2) -> 0, 4 - 8/(x-2) -> 4. После модуля: 4. Итак, у нас есть горизонтальная асимптота y=4. График никогда не достигает этого значения. Теперь найдем точки, где 4 - 8/(x-2) = 0. Это x = 4. То есть график пересекает ось x в точке (4, 0). Так как у нас модуль, то ветвь, которая была ниже оси x, теперь отражена вверх. Нам нужно найти c, при которых ровно одно пересечение. Это произойдет, когда прямая y=c будет касаться «вершины» отраженной части графика. Вершина отраженной части будет там, где исходная функция `4 - 8/(x-2)` принимала минимальное значение. Это происходит, когда `8/(x-2)` максимально по модулю отрицательно. Это при x < 2. Чем меньше x (чем дальше от 2 в отрицательную сторону), тем ближе `8/(x-2)` к 0. Значит, `4 - 8/(x-2)` стремится к 4. Теперь рассмотрим случай, когда `x > 2`. `8/(x-2)` будет положительным. Чтобы `4 - 8/(x-2)` было минимальным, `8/(x-2)` должно быть максимальным. Это происходит, когда `x` стремится к 2 (справа). Тогда `4 - 8/(x-2)` стремится к `-inf`. После модуля это будет `+inf`. Это не та часть, которая дает одну точку пересечения. Давайте найдем точки, где `4 - 8/(x-2) = 0`. Это `x = 4`. При `x=4`, `f(4) = 0`. Теперь, когда `x < 2`. `x-2` будет отрицательным. `8/(x-2)` будет отрицательным. `4 - 8/(x-2)` будет `4 - (отрицательное число)` = `4 + (положительное число)`. То есть для `x < 2`, `f(x) > 4`. Значит, `y=c` будет иметь одно пересечение, если `c > 4`. Так как у нас горизонтальная асимптота y=4, и при x < 2, график стремится к +бесконечности, то `y=c` будет иметь одно пересечение, если `c > 4`. Но это неправильно. Проанализируем график y = 4 - 8/(x-2). При x=3, y = 4 - 8/1 = -4. При x=4, y = 4 - 8/2 = 0. При x=5, y = 4 - 8/3 = 4/3. При x=1, y = 4 - 8/(-1) = 12. При x=0, y = 4 - 8/(-2) = 8. При x=-2, y = 4 - 8/(-4) = 6. Итак, график y = 4 - 8/(x-2) имеет ветвь выше y=4 для x < 2, и ветвь ниже y=4 для x > 2. Точка пересечения с осью x — x=4. Теперь берем модуль |4 - 8/(x-2)|. Часть графика, где y < 0 (то есть от x=2 до x=4), отражается вверх. Вершина отраженной части будет там, где исходная функция была минимальной. Минимальное значение функции `4 - 8/(x-2)` для `x > 2` стремится к `-inf` при `x -> 2+`. Значит, отраженная часть стремится к `+inf` при `x -> 2+`. График будет иметь две «вершины» на бесконечности (стремление к +inf при x->2- и x->2+). Горизонтальная асимптота y=4. Теперь найдем значение `c`, при котором `f(x) = c` имеет ровно одно решение. Это произойдет, когда прямая `y=c` будет касаться «выпуклой» части графика. У нас есть две части графика: одна для x < 2, другая для x > 2. Для x < 2, график функции `4 - 8/(x-2)` находится выше `y=4`. Для `x > 2`, график функции `4 - 8/(x-2)` находится ниже `y=4`, пересекая ось x в точке `x=4`. При взятии модуля, часть графика для `x ∈ (2, 4)` отражается вверх. Максимальное значение отраженной части будет `f(x) = |4 - 8/(x-2)|` при `x=3`, `f(3) = |-4| = 4`. Это значение совпадает с верхней асимптотой. Значит, при `c=4` у нас будет одно решение (отраженная часть графика касается `y=4` в точке `x=3`). А также, при `c=4`, прямая `y=4` параллельна асимптоте для `x < 2`, и не пересекает ее. Однако, у нас есть второе условие: `f(x) = c` имеет ровно одно решение. Это может произойти, когда `c` равно значению, которое достигается только в одной точке. Это происходит, когда `c` больше `4` (ветвь для `x < 2`) или когда `c` равно `0` (где график пересекает ось x). Если `c = 0`, то `f(x) = 0` имеет одно решение `x=4`. Если `c > 4`, то `4 - 8/(x-2) = c` или `4 - 8/(x-2) = -c`. Для `x < 2`, `4 - 8/(x-2)` всегда больше `4`. Значит, `4 - 8/(x-2) = c` будет иметь одно решение, если `c > 4`. Таким образом, `c > 4` дает одно решение. Теперь рассмотрим `x > 2`. `f(x) = |4 - 8/(x-2)|`. Когда `x` от 2 до 4, `f(x) = -(4 - 8/(x-2)) = 8/(x-2) - 4`. Это функция, которая идет от +inf (при x->2+) до 0 (при x=4). Когда `x > 4`, `f(x) = 4 - 8/(x-2)`. Эта функция идет от 0 (при x=4) до 4 (при x->inf). Итак, график состоит из: 1) ветви для `x < 2`, где `f(x) > 4`, стремящейся к 4 при `x -> -inf` и к `+inf` при `x -> 2-`. 2) части для `x ∈ (2, 4)`, где `f(x)` идет от `+inf` (при `x -> 2+`) до `0` (при `x=4`). 3) части для `x > 4`, где `f(x)` идет от `0` (при `x=4`) до `4` (при `x -> +inf`). Таким образом, одно решение будет, когда: `c=0` (пересекает ось x в одной точке x=4). Или когда `c > 4` (пересекает ветвь для `x < 2`). Или когда `c` находится между 0 и 4 (пересекает часть графика для `x > 4` в двух точках, и часть графика для `x ∈ (2, 4)` в одной точке). Когда `c=4`, мы имеем одно решение на ветви `x < 2`, и одно решение на ветви `x > 4`. Это два решения. Ровно одно решение будет, когда `c=0`. Или когда `c` находится в интервале `(0, 4)` (одно пересечение с веткой `x ightarrow ext{inf}`) и `c` находится в интервале `(4, ext{inf})` (одно пересечение с веткой `x < 2`). То есть, `c=0`. Или `c > 4`. Или, когда `c` находится между 0 и 4, но только с одной стороны. Рассмотрим еще раз. График `y = |4 - 8/(x-2)|`. Асимптоты: `x=2` (вертикальная) и `y=4` (горизонтальная). График пересекает ось x в точке `x=4`. Для `x < 2`, `4 - 8/(x-2)` > 4. Для `x` близкого к 2 (справа), `4 - 8/(x-2)` стремится к `-inf`. Для `x` близкого к 2 (слева), `4 - 8/(x-2)` стремится к `+inf`. Для `x` стремящегося к `+/- inf`, `4 - 8/(x-2)` стремится к `4`. Итак, график: ветвь для `x < 2` начинается от `y=4` (при `x->-inf`), идет вверх, стремясь к `+inf` при `x->2-`. Ветвь для `x > 2`: начинается от `+inf` (при `x->2+`), идет вниз, пересекает ось x в `x=4`, и стремится к `y=4` при `x->+inf`. Значит, ровно одно решение будет, когда `c=0` (пересекает ось x в одной точке) или когда `c > 4` (пересекает только левую ветвь). Поэтому, `c=0` или `c > 4`.