Дана функция $$f(x) = |6 - \frac{12}{x+1}|$$. 1) Постройте график функции $$y = f(x)$$. 2) При каких значениях $$c$$ уравнение $$f(x) = c$$ имеет ровно одно решение?

Анализ функции:

Функция $$f(x) = |6 - \frac{12}{x+1}|$$ содержит модуль, что означает, что отрицательные значения выражения $$6 - \frac{12}{x+1}$$ будут преобразованы в положительные. Это повлияет на график, отразив часть графика относительно оси абсцисс.

Найдем область определения функции: $$x+1
eq 0$$, следовательно, $$x
eq -1$$.

1) Построение графика функции $$y = f(x)$$:

Сначала построим график вспомогательной функции $$g(x) = 6 - \frac{12}{x+1}$$.

Преобразуем функцию: $$g(x) = \frac{6(x+1) - 12}{x+1} = \frac{6x + 6 - 12}{x+1} = \frac{6x - 6}{x+1}$$.

Найдем асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $$x = -1$$.
• Горизонтальная асимптота: $$y = 6$$ (при $$x \to \pm \infty$$, $$\frac{12}{x+1} \to 0$$).

Найдем точки пересечения с осями:

• С осью $$Ox$$: $$6 - \frac{12}{x+1} = 0 \implies 6 = \frac{12}{x+1} \implies 6(x+1) = 12 \implies x+1 = 2 \implies x = 1$$. Точка (1, 0).
• С осью $$Oy$$: $$g(0) = 6 - \frac{12}{0+1} = 6 - 12 = -6$$. Точка (0, -6).

Теперь построим график $$y = g(x)$$ и затем $$y = |g(x)|$$. Часть графика $$g(x)$$, лежащая ниже оси $$Ox$$, будет отражена вверх.

График будет выглядеть следующим образом:

2) При каких значениях $$c$$ уравнение $$f(x) = c$$ имеет ровно одно решение?

Уравнение $$f(x) = c$$ имеет ровно одно решение, когда горизонтальная линия $$y = c$$ пересекает график функции $$y = f(x)$$ ровно в одной точке.

Анализируя график:

• Если $$c = 0$$, линия $$y=0$$ (ось $$Ox$$) пересекает график в одной точке (1, 0).
• Если $$c = 6$$, линия $$y=6$$ является горизонтальной асимптотой для $$g(x)$$. Для $$|g(x)|$$, $$y=6$$ будет пересекать график в двух точках.
• Максимальное значение функции $$|g(x)|$$ достигается при $$x o -1$$. Если $$6 - \frac{12}{x+1} > 0$$, то $$|6 - \frac{12}{x+1}| = 6 - \frac{12}{x+1}$$. Если $$6 - \frac{12}{x+1} < 0$$, то $$|6 - \frac{12}{x+1}| = -(6 - \frac{12}{x+1}) = \frac{12}{x+1} - 6$$.
• Рассмотрим случай, когда $$6 - \frac{12}{x+1} = 0$$, что дает $$x = 1$$. В этой точке $$f(1) = 0$$.
• Рассмотрим случай, когда $$6 - \frac{12}{x+1}$$ стремится к $$+\infty$$ или $$-\infty$$.
• При $$x \to -1^+$$, $$\frac{12}{x+1} \to +\infty$$, $$6 - \frac{12}{x+1} \to -\infty$$. $$|6 - \frac{12}{x+1}| \to +\infty$$.
• При $$x \to -1^-$$, $$\frac{12}{x+1} \to -\infty$$, $$6 - \frac{12}{x+1} \to +\infty$$. $$|6 - \frac{12}{x+1}| \to +\infty$$.
• Если $$c > 0$$, то уравнение $$|6 - \frac{12}{x+1}| = c$$ эквивалентно двум уравнениям: $$6 - \frac{12}{x+1} = c$$ или $$6 - \frac{12}{x+1} = -c$$.
• $$6 - c = \frac{12}{x+1}$$ и $$6 + c = \frac{12}{x+1}$$.
• Если $$c=6$$, то $$0 = \frac{12}{x+1}$$ (нет решений) и $$12 = \frac{12}{x+1} \implies x+1 = 1 \implies x=0$$.
• Если $$c
  eq 6$$, то $$x+1 = \frac{12}{6-c}$$ и $$x+1 = \frac{12}{6+c}$$.
• Мы получим два решения, если $$6-c
  eq 0$$ и $$6+c
  eq 0$$, и $$6-c
  eq 6+c$$ (что выполняется, если $$c
  eq 0$$).
• Если $$c > 0$$ и $$c
  eq 6$$, мы получим два различных значения для $$x+1$$, и следовательно, два решения.
• Если $$c=0$$, то $$6 = \frac{12}{x+1}$$, $$x+1=2$$, $$x=1$$. Одно решение.
• Если $$c=6$$, то $$0 = \frac{12}{x+1}$$ (нет решений) и $$12 = \frac{12}{x+1}$$ ($$x=0$$). Одно решение.
• Проверим вершину графика после отражения. Для $$g(x) = 6 - \frac{12}{x+1}$$, экстремума нет. После отражения, если $$6 - \frac{12}{x+1}$$ становится отрицательным, то $$|6 - \frac{12}{x+1}|$$ будет иметь минимум 0 при $$x=1$$.
• Вертикальная асимптота $$x=-1$$.
• Рассмотрим случай, когда $$c < 0$$. Уравнение $$|f(x)|=c$$ не имеет решений, так как модуль всегда неотрицателен.
• Таким образом, ровно одно решение получается, когда $$y=c$$ проходит через точку пересечения с осью Ox (т.е. $$c=0$$) или когда $$y=c$$ проходит через вершину отраженной части графика, если такая вершина существует. В данном случае, $$x=1$$ дает $$f(1)=0$$.
• Также, если $$c=6$$, мы имеем $$6 - \frac{12}{x+1} = 6$$ (нет решения) и $$6 - \frac{12}{x+1} = -6$$, т.е. $$12 = \frac{12}{x+1}$$, $$x+1=1$$, $$x=0$$. Это дает одно решение.

График показывает:

• Линия $$y=c$$ пересекает график в двух точках, если $$c > 0$$ и $$c
  eq 6$$.
• Линия $$y=c$$ пересекает график в одной точке, если $$c=0$$ (точка (1,0)) или если $$c=6$$ (точка (0,6)).

Ответ: Уравнение $$f(x) = c$$ имеет ровно одно решение при $$c=0$$ и $$c=6$$.