Дана функция f x = |9 / (x - 3)| - 3. 1) Постройте график функции y = f x. 2) При каких значениях c уравнение f x = c имеет ровно одно решение?

Анализ функции:

Дана функция f(x) = |9 / (x - 3)| - 3.

Это дробно-рациональная функция с модулем.

1) Построение графика функции y = f(x):

1. График функции y = 9 / (x - 3)
   Это гипербола с центром в точке (3, 0).
   Вертикальная асимптота: x = 3.
   Горизонтальная асимптота: y = 0.
2. График функции y = |9 / (x - 3)|
   Часть графика, где 9 / (x - 3) < 0 (то есть при x < 3), симметрично отражается относительно оси Ox.
3. График функции y = |9 / (x - 3)| - 3
   График y = |9 / (x - 3)| смещается на 3 единицы вниз.

Схема построения:

1. Строим график y = 1/x.

2. Растягиваем по оси Y в 9 раз: y = 9/x.

3. Сдвигаем на 3 вправо: y = 9/(x - 3).

4. Применяем модуль: y = |9/(x - 3)| (нижняя часть графика, где y < 0, становится верхней).

5. Сдвигаем на 3 вниз: y = |9/(x - 3)| - 3.

Ключевые точки и асимптоты:

• Вертикальная асимптота: x = 3.
• Горизонтальная асимптота для y = 9/(x-3) была y = 0. После применения модуля она остается y = 0 (только для положительной части).
• После сдвига на 3 вниз, новая горизонтальная асимптота для всей функции будет y = -3.
• Точки пересечения с осью Ox: |9/(x-3)| - 3 = 0 => |9/(x-3)| = 3 => 9/(x-3) = 3 или 9/(x-3) = -3.
  9 = 3(x-3) => 3 = x-3 => x = 6.
  9 = -3(x-3) => -3 = x-3 => x = 0.
• Точки пересечения с осью Oy: f(0) = |9/(0-3)| - 3 = |-3| - 3 = 3 - 3 = 0. (Уже нашли)

2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

График функции y = |9/(x - 3)| - 3 состоит из двух частей, симметричных относительно вертикальной асимптоты x = 3, и смещенных вниз на 3.

Горизонтальная асимптота y = -3.

Рассмотрим, как прямая y = c пересекает график:

• Если c < -3, прямая y = c не пересечет график (нет решений).
• Если c = -3, прямая y = c совпадет с горизонтальной асимптотой. Она не будет пересекать график, так как асимптота не входит в область значений функции. (нет решений).
• Если -3 < c < 0, прямая y = c пересечет обе ветви графика ровно два раза.
• Если c = 0, прямая y = c пересечет график в двух точках (0; 0) и (6; 0). (два решения).
• Если c > 0, прямая y = c пересечет каждую из двух ветвей графика (которые после применения модуля идут вверх от оси Ox) ровно один раз. Таким образом, будет два пересечения.

Возможно, я допустил ошибку в рассуждении. Давайте пересмотрим.

Функция y = |9/(x-3)| - 3:

1. y = 9/(x-3) - гипербола с асимптотами x=3 и y=0.
2. y = |9/(x-3)| - часть графика ниже оси Ox (при x < 3) отражается вверх. Теперь асимптота y=0 является нижней границей для положительных значений.
3. y = |9/(x-3)| - 3 - график сдвигается на 3 вниз. Горизонтальная асимптота становится y = -3.

Анализируем количество пересечений прямой y = c с графиком:

• c < -3: Нет пересечений.
• c = -3: Нет пересечений (это асимптота).
• -3 < c < 0: Две ветви графика, которые начинаются от y = -3 (не включая его) и стремятся вверх, пересекутся прямой y=c ровно два раза (по одному разу на каждую ветвь).
• c = 0: Прямая y = 0 пересечет график в двух точках (0 и 6). Два решения.
• c > 0: Прямая y = c пересечет каждую из двух ветвей графика ровно один раз. Два решения.

Пересмотрим еще раз. Где может быть одно решение?

Давайте рассмотрим поведение функции более детально.

f(x) = |9 / (x - 3)| - 3

Случай 1: 9 / (x - 3) >= 0, то есть x - 3 > 0, или x > 3.

В этом случае f(x) = 9 / (x - 3) - 3.

График этой части функции — гипербола, расположенная выше оси Ox, смещенная на 3 единицы вниз.

Асимптоты: x = 3 (вертикальная) и y = -3 (горизонтальная).

Эта ветвь графика существует для x > 3. Значения функции здесь стремятся к -3 сверху.

Случай 2: 9 / (x - 3) < 0, то есть x - 3 < 0, или x < 3.

В этом случае f(x) = -(9 / (x - 3)) - 3 = -9 / (x - 3) - 3.

График этой части функции — гипербола, расположенная ниже оси Ox, смещенная на 3 единицы вниз.

Асимптоты: x = 3 (вертикальная) и y = -3 (горизонтальная).

Эта ветвь графика существует для x < 3. Значения функции здесь стремятся к -3 сверху.

Объединяя два случая:

Мы имеем две ветви гиперболы, каждая из которых стремится к y = -3 сверху.

Теперь посмотрим на количество решений уравнения f(x) = c:

• Если c < -3, нет пересечений.
• Если c = -3, нет пересечений (это асимптота).
• Если -3 < c < 0, каждая из двух ветвей графика будет пересечена прямой y = c один раз. Всего два решения.
• Если c = 0, прямая y = 0 пересекает график в двух точках (x=0 и x=6). Всего два решения.
• Если c > 0, каждая из двух ветвей графика будет пересечена прямой y = c один раз. Всего два решения.

Где же одно решение?

Возможно, я неверно истолковал условие, или в задании есть подвох.

Давайте внимательно посмотрим на функцию f(x) = |9 / (x - 3)| - 3.

Критическая точка: x = 3 (вертикальная асимптота).

Значения y = |9 / (x - 3)|:

Для x > 3, 9 / (x - 3) > 0. Значит, |9 / (x - 3)| = 9 / (x - 3). Значения y стремятся к +∞ при x → 3+ и к 0 при x → +∞.

Для x < 3, 9 / (x - 3) < 0. Значит, |9 / (x - 3)| = -(9 / (x - 3)) = 9 / (3 - x). Значения y стремятся к +∞ при x → 3- и к 0 при x → -∞.

Значения f(x) = |9 / (x - 3)| - 3:

Для x > 3: f(x) стремится к +∞ при x → 3+ и к -3 при x → +∞.

Для x < 3: f(x) стремится к +∞ при x → 3- и к -3 при x → -∞.

Рассмотрим количество пересечений прямой y = c с графиком:

• c < -3: Нет пересечений.
• c = -3: Нет пересечений (асимптота).
• -3 < c < 0: Каждая ветвь графика пересекается прямой y = c ровно один раз. Всего два решения.
• c = 0: График пересекает ось x в точках x = 0 и x = 6. Всего два решения.
• c > 0: Каждая ветвь графика пересекается прямой y = c ровно один раз. Всего два решения.

Вывод:

Исходя из анализа графика, уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение при значениях c, для которых существует только одна точка пересечения. Однако, в данном случае, при всех c > -3, уравнение имеет два решения.

Возможно, в условии задачи есть опечатка, или я что-то упускаю.

Перечитываю условие: