Дана функция \(f(x) = \left|2 - \frac{x+1}{8}\right|\).

Построение графика функции:

• Шаг 1: Определяем внутреннюю функцию \(y = 2 - \frac{x+1}{8}\). Это линейная функция. Найдем точки пересечения с осями.
• Пересечение с осью Y (при x=0): \(y = 2 - \frac{0+1}{8} = 2 - \frac{1}{8} = \frac{15}{8}\). Точка (0, 15/8).
• Пересечение с осью X (при y=0): \(0 = 2 - \frac{x+1}{8}\) => \(\frac{x+1}{8} = 2\) => \(x+1 = 16\) => \(x = 15\). Точка (15, 0).
• Шаг 2: Учитываем модуль \(|...|\). Часть графика, которая находится ниже оси X, отражается вверх.
• Линейная функция \(y = 2 - \frac{x+1}{8}\) имеет отрицательный наклон.
• Когда \(2 - \frac{x+1}{8} < 0\) (т.е. \(x > 15\)), график отражается.
• Шаг 3: Строим график. Это будет "V"-образная фигура, вершина которой находится в точке, где \(2 - \frac{x+1}{8} = 0\), то есть в точке (15, 0). Левая часть графика (при \(x < 15\)) идет от \(y = 2 - \frac{x+1}{8}\), а правая часть (при \(x > 15\)) идет от \(y = -(2 - \frac{x+1}{8}) = \frac{x+1}{8} - 2\).

При каких значениях с уравнение f(x) = с имеет ровно одно решение?

• Анализ: Уравнение \(f(x) = c\) означает, что мы ищем пересечения графика функции \(y = f(x)\) с горизонтальной линией \(y = c\).
• Рассмотрим график:
• Если \(c < 0\), горизонтальная линия \(y=c\) не пересекает график \(y=f(x)\) (так как \(f(x)\) всегда \(\ge 0\) из-за модуля). Нет решений.
• Если \(c = 0\), линия \(y=0\) (ось X) пересекает график в одной точке (вершине параболы, где \(f(x)=0\), т.е. при \(x=15\)). Одно решение.
• Если \(c > 0\), линия \(y=c\) будет пересекать обе «ветви» графика \(y=f(x)\). Две точки пересечения.

Ответ: Уравнение \(f(x) = c\) имеет ровно одно решение при \(c = 0\).