Дана функция $$f(x) = \lim_{x\to\infty} \frac{3x^3-8}{3-x^5}$$. Чему равен предел данной функции?

Решение:

Чтобы найти предел функции при \( x \to \infty \), нужно разделить числитель и знаменатель на наивысшую степень \( x \) в знаменателе, которой является \( x^5 \).

1. Разделим числитель и знаменатель на \( x^5 \):
   $$ \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{3x^3}{x^5} - \frac{8}{x^5}}{\frac{3}{x^5} - \frac{x^5}{x^5}} $$
2. Упростим выражение:
   $$ \lim_{x\to\infty} \frac{\frac{3}{x^2} - \frac{8}{x^5}}{\frac{3}{x^5} - 1} $$
3. При \( x \to \infty \), члены вида \( \frac{c}{x^n} \) (где \( c \) — константа, \( n > 0 \)) стремятся к нулю. Поэтому:
   $$ \frac{0 - 0}{0 - 1} = \frac{0}{-1} = 0 $$

Ответ: Предел данной функции равен 0, так как при делении числителя и знаменателя на \( x^5 \) получим 0.