Дана функция $f(x)=-x^2+2x+8$. 1) Постройте график функции $y=f(x)$. 2) Укажите интервалы знакопостоянства функции $y=f(x)$. 3) Укажите промежутки монотонности функции $y=f(x)$. 4) Найдите множество значений функции $y=f(x)$ на промежутке $[2; +\infty)$. 5) Постройте графики функций: а) $y=|f(x)|$; б) $y=f(|x|)$. Выберите интервалы знакопостоянства: $(−\infty;−2)\cup(4;+\infty)$, $(−\infty;0)\cup(1;+\infty)$, $(−2;4)$, $(−\infty;+\infty)$. Выберите промежутки монотонности функции: $(−\infty;1]$, $(−\infty;0)\cup[1;+\infty)$, $[1;+\infty)$, $(−\infty;+\infty)$. Выберите множество значений функции $y=f(x)$ на промежутке $[2;+\infty)$: $(−\infty;8]$, $(−\infty;+\infty)$, $[2;+\infty)$, $(−\infty;0)$, $(−\infty;9]$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Дана функция $f(x)=-x^2+2x+8$. 1) Постройте график функции $y=f(x)$. 2) Укажите интервалы знакопостоянства функции…$ Фото задания

Дана функция $f(x)=-x^2+2x+8$. 1) Постройте график функции $y=f(x)$. 2) Укажите интервалы знакопостоянства функции $y=f(x)$. 3) Укажите промежутки монотонности функции $y=f(x)$. 4) Найдите множество значений функции $y=f(x)$ на промежутке $[2; +\infty)$. 5) Постройте графики функций: а) $y=|f(x)|$; б) $y=f(|x|)$. Выберите интервалы знакопостоянства: $(−\infty;−2)\cup(4;+\infty)$, $(−\infty;0)\cup(1;+\infty)$, $(−2;4)$, $(−\infty;+\infty)$. Выберите промежутки монотонности функции: $(−\infty;1]$, $(−\infty;0)\cup[1;+\infty)$, $[1;+\infty)$, $(−\infty;+\infty)$. Выберите множество значений функции $y=f(x)$ на промежутке $[2;+\infty)$: $(−\infty;8]$, $(−\infty;+\infty)$, $[2;+\infty)$, $(−\infty;0)$, $(−\infty;9]$.

Accepted Answer

1) График функции $y=f(x)$

Выделим квадрат: $f(x)=-(x-1)^2+9$. Это парабола с ветвями вниз, вершиной $(1;9)$ и осью симметрии $x=1$. Нули функции: $-(x-1)^2+9=0$, откуда $x=-2$ или $x=4$.

2) Интервалы знакопостоянства. Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция положительна между корнями и отрицательна вне корней: $f(x)>0$ при $x\in(-2;4)$, а $f(x)<0$ при $x\in(-\infty;-2)\cup(4;+)$. На концах этих интервалов функция равна нулю. Из вариантов выберите $(-2;4)$ для положительных значений и $(−\infty;−2)\cup(4;+\infty)$ для отрицательных.

3) Монотонность. Вершина имеет абсциссу $x=1$. До вершины парабола возрастает, после неё убывает: возрастает на $(−\infty;1]$, убывает на $[1;+\infty)$. В предложенных вариантах верны оба этих промежутка.

4) Множество значений при $x\in[2;+\infty)$. На этом промежутке функция убывает, поэтому наибольшее значение достигается при $x=2$: $f(2)=-4+4+8=8$. При $x\to+$ значения функции неограниченно убывают. Следовательно, множество значений — $(−\infty;8]$. Выберите этот вариант.

5а) График $y=|f(x)|$. Часть графика $f(x)$, расположенная ниже оси $x$, отражается вверх; часть выше оси остаётся без изменений.

5б) График $y=f(|x|)$. Для $x\ge0$ график совпадает с графиком $f(x)$; его часть справа от оси $y$ отражается симметрично влево. Получаем $y=-x^2+2|x|+8$.

Ответ: