Дана функция f(x) = |x²-4|-x+2. Найдите все значения с, при которых уравнение f(x) = с имеет нечётное количество корней. Если таких значений несколько, укажите в ответе наибольшее из них.

Анализ функции

Дана функция \( f(x) = |x^2 - 4| - x + 2 \). Нам нужно найти все значения \( c \), при которых уравнение \( f(x) = c \) имеет нечётное количество корней. Если таких значений несколько, нужно указать наибольшее.

Исследование функции

Сначала раскроем модуль. У \( x^2 - 4 \) корни \( x = &# &# &# 2 \) и \( x = -2 \).

Следовательно, \( x^2 - 4 \) положительно при \( x &# &# &# -2 \) и \( x &# &# &# 2 \), и отрицательно при \( -2 < x < 2 \).

Рассмотрим два случая:

1. Случай 1: \( x &# &# &# -2 \) или \( x &# &# &# 2 \). В этом случае \( |x^2 - 4| = x^2 - 4 \).
   Тогда \( f(x) = x^2 - 4 - x + 2 = x^2 - x - 2 \).
2. Случай 2: \( -2 < x < 2 \). В этом случае \( |x^2 - 4| = -(x^2 - 4) = 4 - x^2 \).
   Тогда \( f(x) = 4 - x^2 - x + 2 = -x^2 - x + 6 \).

Графическое представление

Построим график функции. Это будет комбинация парабол.

Для \( f(x) = x^2 - x - 2 \) (при \( x &# &# &# -2 \) и \( x &# &# &# 2 \)):

• Вершина параболы \( y = x^2 - x - 2 \) находится в точке \( x = -(-1) / (2 &# &# &# 1) = 1/2 \). Значение \( f(1/2) = (1/2)^2 - 1/2 - 2 = 1/4 - 1/2 - 2 = -1/4 - 2 = -9/4 \).
• Значения на границах интервала: \( f(-2) = (-2)^2 - (-2) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4 \), \( f(2) = 2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0 \).

Для \( f(x) = -x^2 - x + 6 \) (при \( -2 < x < 2 \)):

• Вершина параболы \( y = -x^2 - x + 6 \) находится в точке \( x = -(-1) / (2 &# &# &# -1) = 1 / (-2) = -1/2 \). Значение \( f(-1/2) = -(-1/2)^2 - (-1/2) + 6 = -1/4 + 1/2 + 6 = 1/4 + 6 = 25/4 \).
• Значения на границах интервала (предельные): \( &# &# &# f(x) &# &# &# (-2) = -(-2)^2 - (-2) + 6 = -4 + 2 + 6 = 4 \), \( &# &# &# f(x) &# &# &# (2) = -(2)^2 - 2 + 6 = -4 - 2 + 6 = 0 \).

Нахождение значений c

Теперь рассмотрим, при каких значениях \( c \) прямая \( y = c \) пересекает график функции нечётное число раз.

Анализируя график, мы видим, что нечётное количество корней (1 корень) будет, когда прямая \( y = c \) проходит через:

• Максимальное значение второй ветви параболы, то есть \( c = 25/4 \).
• Точки, где график пересекает ось X, если эти точки не совпадают с вершинами, но здесь это не так.
• Нам нужно найти точки, где одна из частей графика заканчивается, а другая начинается, при этом число пересечений меняется на нечётное.

График имеет два «вершины» (одна локальный максимум \( 25/4 \) и одна локальный минимум \( -9/4 \) на своих интервалах, но мы смотрим на области определения).

Нечётное число корней будет в следующих случаях:

• Когда \( c \) равно значению локального максимума на интервале \( (-2, 2) \), то есть \( c = 25/4 \). В этом случае прямая \( y = c \) касается вершины \( -x^2 - x + 6 \) и пересекает \( x^2 - x - 2 \) в двух точках (при \( x > 2 \) или \( x < -2 \)), что дает всего 3 корня.
• Также, если \( c \) равно значению \( f(2) \) для \( x^2 - x - 2 \), что равно 0. В этой точке \( y = 0 \) пересекает \( -x^2 - x + 6 \) в двух точках (x=2, x=-3), и \( x^2 - x - 2 \) в одной точке (x=2, x=-1). Итого 3 корня.
• Если \( c \) равно значению \( f(-2) \) для \( x^2 - x - 2 \), что равно 4. В этой точке \( y = 4 \) пересекает \( -x^2 - x + 6 \) в одной точке (x=-2) и \( x^2 - x - 2 \) в одной точке (x=-2), что дает всего 2 корня (точнее, 1 точка касания и 1 пересечение).
• Рассмотрим границы:
• Если \( c = 25/4 \), то 3 корня.
• Если \( c = 4 \), то 2 корня.
• Если \( c = 0 \), то 3 корня.
• Если \( c = -9/4 \) (локальный минимум первой части), то 1 корень.

Для получения нечётного числа корней, нам нужны значения \( c \), при которых прямая \( y = c \) проходит через точки, где график функции меняет свое поведение, и эти точки не являются