Дана функция f(x) = x² − 6x + 8. а) Найди нули функции, решив уравнение f(x) = 0. б) Определи, при каких значениях x функция принимает положительные значения, а при каких — отрицательные. в) Запиши найденные результаты в виде промежутков.

а) Нули функции

Разложим квадратный трёхчлен на множители:

\(f(x)=x^2-6x+8=(x-2)(x-4)\).

Решим уравнение:

\((x-2)(x-4)=0\), поэтому \(x_1=2\), \(x_2=4\).

б) Знаки функции

Корни разбивают числовую прямую на промежутки \((-\infty;2)\), \((2;4)\), \((4;+\infty)\). Коэффициент при \(x^2\) положительный, поэтому функция положительна вне корней и отрицательна между корнями.

• \(f(x)>0\) при \(x\in(-\infty;2)\cup(4;+\infty)\);
• \(f(x)<0\) при \(x\in(2;4)\);
• \(f(x)=0\) при \(x=2\) и \(x=4\).

Ответ: нули функции: \(2\) и \(4\); положительные значения функция принимает на \((-\infty;2)\cup(4;+\infty)\), отрицательные — на \((2;4)\).