Дана функция f(x)=2+\frac{10}{|x+1|}. 1) Постройте график функции у = f(x). 2) При каких значениях с уравнение f (x) = с имеет ровно одно решение?

Решение:

1) Для построения графика функции \(y = 2 + \frac{10}{|x+1|}\), нужно рассмотреть функцию \(y = \frac{10}{|x+1|}\). Эта функция представляет собой гиперболу, смещенную влево на 1 единицу и растянутую по оси y в 10 раз. Так как у нас модуль, отрицательных значений y не будет.

• Функция \(\frac{1}{|x|}\) имеет вертикальную асимптоту при \(x = 0\).
• Функция \(\frac{1}{|x+1|}\) имеет вертикальную асимптоту при \(x = -1\).
• Функция \(\frac{10}{|x+1|}\) также имеет вертикальную асимптоту при \(x = -1\).
• Функция \(y = 2 + \frac{10}{|x+1|}\) получается из \(\frac{10}{|x+1|}\) сдвигом вверх на 2 единицы. Следовательно, горизонтальная асимптота будет при \(y = 2\).

2) Уравнение \(f(x) = c\) имеет ровно одно решение, когда горизонтальная линия \(y = c\) касается графика функции только в одной точке.

Рассмотрим график. Горизонтальная прямая, касающаяся только одной точки графика, это либо горизонтальная асимптота, либо вершина графика. В данном случае горизонтальная асимптота \(y = 2\), но она не является решением, так как график к ней только приближается, но не касается. Единственная точка, где может быть одно решение, это минимум функции, но так как график состоит из двух частей, соединенных вертикальной асимптотой, минимума у функции нет.

Функция \(f(x) = 2 + \frac{10}{|x+1|}\) имеет асимптоту \(y = 2\), и \(f(x)\) никогда не принимает значение 2, так как \(\frac{10}{|x+1|} > 0\) для всех \(x\).

График функции симметричен относительно вертикальной прямой \(x = -1\). Это значит, что любое значение \(c > 2\) будет достигаться дважды (по одному разу слева и справа от \(x = -1\)).

Значит, чтобы уравнение имело ровно одно решение, необходимо, чтобы значение \(c\) было равно минимальному значению функции, которое достигается при \(x = -1\). Но при \(x = -1\) функция не определена из-за деления на ноль.

Таким образом, уравнение \(f(x) = c\) не имеет ровно одного решения ни при каком значении \(c\).

Ответ: нет таких с.