Дана функция f(x)=|x²-8|+3x+6. Найдите все значения c, при которых уравнение f(x)=c имеет нечётное количество корней. Если таких значений несколько, укажите в ответе наибольшее из них.

Пошаговое решение:

• Рассмотрим функцию \(f(x) = |x^2 - 8| + 3x + 6\).
• Определим точки, где модуль обращается в ноль: \(x^2 - 8 = 0\), отсюда \(x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\).
• Рассмотрим два случая:
  • 1) Если \(x^2 - 8 \geq 0\), то \(x \leq -2\sqrt{2}\) или \(x \geq 2\sqrt{2}\). В этом случае \(f(x) = x^2 - 8 + 3x + 6 = x^2 + 3x - 2\).
  • 2) Если \(x^2 - 8 < 0\), то \(-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}\). В этом случае \(f(x) = -x^2 + 8 + 3x + 6 = -x^2 + 3x + 14\).
• Найдем производные для каждого случая:
  • 1) \(f'(x) = 2x + 3\) при \(x \leq -2\sqrt{2}\) или \(x \geq 2\sqrt{2}\).
  • 2) \(f'(x) = -2x + 3\) при \(-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}\).
• Найдем критические точки, приравняв производные к нулю:
  • 1) \(2x + 3 = 0\), отсюда \(x = -1.5\). Но это значение не удовлетворяет условию \(x \leq -2\sqrt{2}\) или \(x \geq 2\sqrt{2}\), так как \(-2\sqrt{2} \approx -2.83\).
  • 2) \(-2x + 3 = 0\), отсюда \(x = 1.5\). Это значение удовлетворяет условию \(-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}\).
• Вычислим значение функции в точке \(x = 1.5\): \(f(1.5) = -(1.5)^2 + 3(1.5) + 14 = -2.25 + 4.5 + 14 = 16.25\).
• Также нужно проверить значение функции в точке \(x = -2\sqrt{2}\): \(f(-2\sqrt{2}) = (-2\sqrt{2})^2 + 3(-2\sqrt{2}) - 2 = 8 - 6\sqrt{2} - 2 = 6 - 6\sqrt{2} \approx -2.49\).
• И в точке \(x = 2\sqrt{2}\): \(f(2\sqrt{2}) = (2\sqrt{2})^2 + 3(2\sqrt{2}) - 2 = 8 + 6\sqrt{2} - 2 = 6 + 6\sqrt{2} \approx 14.49\).
• Таким образом, функция имеет нечетное количество корней при \(c = 16.25\), \(c = 6 - 6\sqrt{2}\) и \(c = 6 + 6\sqrt{2}\).
• Наибольшее из этих значений \(16.25\).

Ответ: 16.25