Дана функция f(x) = |3 - 12/(x+4)|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Построение графика функции y = f(x) и анализ уравнения f(x) = c

Давай разберемся с данной функцией и ее графиком, чтобы ответить на вопросы.

1) Построение графика функции y = f(x).

Функция имеет вид f(x) = |3 - 12/(x+4)|. Начнем с анализа:

• Исходная функция: g(x) = 12/x
• Сдвиг по x: g(x+4) = 12/(x+4) (сдвиг влево на 4 единицы)
• Отражение и сдвиг по y: 3 - 12/(x+4) (отражение относительно оси x и сдвиг вверх на 3 единицы)
• Абсолютное значение: |3 - 12/(x+4)| (все значения ниже оси x отражаются вверх)

График функции будет иметь вертикальную асимптоту x = -4 и горизонтальную асимптоту y = 3. Из-за модуля, часть графика, находящаяся ниже оси x, отразится вверх.

2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение, когда горизонтальная прямая y = c пересекает график функции y = f(x) только в одной точке. Проанализируем график:

• Когда c < 0: Уравнение не имеет решений, так как |3 - 12/(x+4)| всегда неотрицательно.
• Когда c = 0: Уравнение имеет одно решение.
• Когда c = 3: Уравнение имеет одно решение.

Графически, c = 0 соответствует случаю, когда прямая y = c касается графика функции в точке, где f(x) = 0. c = 3 соответствует случаю, когда прямая y = c проходит через «вершину» отраженной части графика.

Ответ: Уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение при c = 0 и c = 3.