Дана функция f(x) = |3 - 6/(x+3)|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Привет! Разберем эту задачку вместе. Поехали!

1) Построение графика функции y = f(x)

Чтобы построить график функции \(f(x) = |3 - \frac{6}{x+3}|\), давай действовать по шагам:

• Шаг 1: Рассмотрим функцию \(g(x) = \frac{6}{x}\). Это гипербола с центром в начале координат.
• Шаг 2: Преобразуем \(g(x)\) в \(h(x) = \frac{6}{x+3}\). Это сдвиг гиперболы влево на 3 единицы. Центр гиперболы теперь в точке (-3, 0).
• Шаг 3: Далее, \(k(x) = 3 - \frac{6}{x+3}\). Это отражение гиперболы относительно оси x и сдвиг вверх на 3 единицы.
• Шаг 4: Наконец, \(f(x) = |3 - \frac{6}{x+3}|\). Модуль отражает все точки графика, находящиеся ниже оси x, симметрично вверх.

Теперь нужно определить ключевые точки и асимптоты:

• Вертикальная асимптота: x = -3
• Горизонтальная асимптота: y = 3 (для \(k(x)\), после модуля участки графика отражаются)

Построим график, учитывая эти преобразования и асимптоты. К сожалению, я не могу нарисовать его здесь, но ты можешь воспользоваться графическим калькулятором или онлайн-сервисом для построения графиков, чтобы увидеть, как выглядит график функции.

2) Анализ количества решений уравнения f(x) = c

Теперь определим, при каких значениях c уравнение \(f(x) = |3 - \frac{6}{x+3}| = c\) имеет ровно одно решение.

Это означает, что горизонтальная прямая y = c должна пересекать график функции y = f(x) только в одной точке.

Рассмотрим график функции y = f(x):

• При \(c < 0\) решений нет, так как модуль всегда неотрицателен.
• При \(c = 0\) есть одно решение (точка, где отраженная часть графика касается оси x).
• При \(0 < c < 3\) есть два решения.
• При \(c = 3\) есть одно решение (горизонтальная асимптота).
• При \(c > 3\) есть два решения.

Таким образом, уравнение имеет ровно одно решение при \(c = 0\) и \(c = 3\).

Ответ: Уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение при c = 0 и c = 3.