Дана функция (х) = |4- 8 x+4| 1) Постройте график функции у = f (x). 2) При каких значениях с уравнение f (x) = с имеет ровно одно решение?

Дано:

Функция \( f(x) = \left|4 - \frac{8}{x+4}\right| \)

Задание:

1. Построить график функции \( y = f(x) \).
2. Найти значения \( c \), при которых уравнение \( f(x) = c \) имеет ровно одно решение.

Решение:

1) Построение графика функции \( y = f(x) \)

Рассмотрим функцию \( f(x) = \left|4 - \frac{8}{x+4}\right| \). Сначала построим график функции \( g(x) = 4 - \frac{8}{x+4} \).

1. График функции \( h(x) = \frac{1}{x} \) - гипербола.
2. График функции \( k(x) = \frac{8}{x} \) - растяжение графика функции \( h(x) \) в 8 раз вдоль оси \( Oy \).
3. График функции \( l(x) = \frac{8}{x+4} \) - сдвиг графика функции \( k(x) \) на 4 единицы влево вдоль оси \( Ox \).
4. График функции \( g(x) = 4 - \frac{8}{x+4} \) - отражение графика функции \( l(x) \) относительно оси \( Ox \) и сдвиг на 4 единицы вверх вдоль оси \( Oy \).
5. График функции \( f(x) = \left|4 - \frac{8}{x+4}\right| \) - отображение части графика функции \( g(x) \), находящейся ниже оси \( Ox \), симметрично относительно оси \( Ox \).

График \( g(x) \) имеет вертикальную асимптоту \( x = -4 \) и горизонтальную асимптоту \( y = 4 \). Для построения графика \( f(x) \) отображаем отрицательные значения \( g(x) \) симметрично относительно оси \( x \).

2) При каких значениях \( c \) уравнение \( f(x) = c \) имеет ровно одно решение?

Уравнение \( f(x) = c \) имеет ровно одно решение, когда горизонтальная прямая \( y = c \) пересекает график функции \( f(x) \) в одной точке.

Из графика видно, что это происходит при:

• \( c = 0 \)
• \( c = 4 \)

При \( c = 0 \), уравнение имеет один корень при \( x = -2 \).

При \( c = 4 \), уравнение имеет один корень при \( x \to \pm \infty \).

Ответ: \( c = 0 \) и \( c = 4 \)