Дана функция: \(y=\dfrac{6x-3}{3x-6x^2}\). Постройте график этой функции. Найдите такие значения \(k\), при которых прямая \(y=kx\) будет иметь с графиком данной функции только одну точку пересечения.

Сначала определим область допустимых значений: знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому \(3x-6x^2=3x(1-2x)\ne 0\), то есть \(x\ne 0\) и \(x\ne \frac12\).

При допустимых значениях \(x\): \[y=\frac{3(2x-1)}{3x(1-2x)}=-\frac1x.\] Значит, график — гипербола \(y=-\frac1x\), но точка \(\left(\frac12,-2\right)\) исключена из-за исходного знаменателя. Прямые \(x=0\) и \(x=\frac12\) не входят в график.

Для точек пересечения приравняем значения функций: \(-\frac1x=kx\). Так как \(x\ne0\), получаем \(kx^2=-1\). При \(k<0\) это уравнение обычно имеет два корня; при \(k\ge0\) действительных корней нет. Чтобы осталось ровно одно пересечение, один из двух корней должен соответствовать исключённому значению \(x=\frac12\).

Подставим его: \[k\left(\frac12\right)^2=-1,\qquad k=-4.\] Тогда корни уравнения — \(x=\pm\frac12\). Точка при \(x=\frac12\) исключена из графика, а при \(x=-\frac12\) допустима и даёт единственное пересечение \(\left(-\frac12,2\right)\).

Ответ: \(k=-4\).