Дана функция $y=\dfrac{x^2+2x-3x^2-2x-8}{x^2-x-12}$. Постройте её график и определите значения $m$, при которых этот график имеет единственную точку пересечения с прямой $y=m$. В ответ запишите найденные значения $m$ через точку с запятой в порядке возрастания.

Question

Вопрос: $Фото задания: Дана функция $y=\dfrac{x^2+2x-3x^2-2x-8}{x^2-x-12}$. Постройте её график и определите значения $m$, при которых этот…$ Фото задания

Дана функция $y=\dfrac{x^2+2x-3x^2-2x-8}{x^2-x-12}$. Постройте её график и определите значения $m$, при которых этот график имеет единственную точку пересечения с прямой $y=m$. В ответ запишите найденные значения $m$ через точку с запятой в порядке возрастания.

Accepted Answer

Упростим функцию и учтём область определения:

$y=\dfrac{-2x^2-8}{(x-4)(x+3)}$, где $x\ne4$, $x\ne-3$.

График заданной функции — график этой рациональной функции с вертикальными асимптотами $x=4$, $x=-3$ и горизонтальной асимптотой $y=-2$. Для числа пересечений с прямой $y=m$ решим уравнение:

$-2x^2-8=m(x^2-x-12)$, откуда $(-2-m)x^2+mx+12m-8=0$.

Если $m=-2$, уравнение становится линейным: $-2x-32=0$. Оно имеет ровно один корень, поэтому подходит $m=-2$.
Если $m\ne-2$, уравнение квадратное. Оно имеет ровно один действительный корень при нулевом дискриминанте: $D=m^2-4(-2-m)(12m-8)=49m^2+64m-64$. Решаем $49m^2+64m-64=0$: $m=\dfrac{-32\pm8\sqrt{65}}{49}$.

Ни один из полученных корней уравнения пересечения не является запрещённым значением $x=4$ или $x=-3$, поскольку числитель исходной функции в этих точках не равен нулю.

Ответ: $-2;\;\dfrac{-32-8\sqrt{65}}{49};\;\dfrac{-32+8\sqrt{65}}{49}$.