Дана функция $y=\frac{(0,25x^2-0,5x)\cdot |x|}{x-2}$. Постройте график данной функции и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не будет иметь с графиком данной функции ни одной общей точки.

Question

Дана функция $y=\frac{(0,25x^2-0,5x)\cdot |x|}{x-2}$. Постройте график данной функции и определите, при каких значениях $m$ прямая $y=m$ не будет иметь с графиком данной функции ни одной общей точки.

$Фото задания: Дана функция $y=\frac{(0,25x^2-0,5x)\cdot |x|}{x-2}$. Постройте график данной функции и определите, при каких значениях…$ Фото задания

Accepted Answer

Разложим числитель: $0.25x^2-0.5x=0.25x(x-2)$. Поэтому при $x\ne2$:

\[y=\frac{0.25x(x-2)|x|}{x-2}=0.25x|x|.\]

С учётом области определения $x\ne2$ функция задаётся так:

\[y=\begin{cases}-0.25x^2, & x<0,\\0.25x^2, & x\ge 0,\ x\ne2.\end{cases}\]

График состоит из левой ветви параболы $y=-0.25x^2$ при $x<0$ и правой ветви параболы $y=0.25x^2$ при $x\ge0$, причём точка $(2;1)$ выколота.

Значения функции: при $x<0$ имеем $y<0$, а при $x\ge0$ — $y\ge0$. Значение $y=1$ достигается только при $x=2$, но эта точка исключена из области определения. Следовательно, множество значений функции: $(-,0]\cup[0,1)\cup(1,+)$.

Горизонтальная прямая $y=m$ не пересекает график тогда и только тогда, когда $m=1$.

Ответ: $m=1$.