Дана функция: $y=x-2{,}5$ при $x<5$; $y=7{,}5-x$ при $5\le x\le8$; $y=x-13$ при $x>8$. Необходимо построить график данной функции. Найдите такие значения $p$, при которых прямая $y=p$ будет пересекать график данной функции ровно в двух точках. В ответ укажите наибольшее значение $p$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Дана функция: $y=x-2{,}5$ при $x<5$; $y=7{,}5-x$ при $5\le x\le8$; $y=x-13$ при $x>8$. Необходимо построить…$ Фото задания

Дана функция: $y=x-2{,}5$ при $x<5$; $y=7{,}5-x$ при $5\le x\le8$; $y=x-13$ при $x>8$. Необходимо построить график данной функции. Найдите такие значения $p$, при которых прямая $y=p$ будет пересекать график данной функции ровно в двух точках. В ответ укажите наибольшее значение $p$.

Accepted Answer

На каждом участке функция линейна. Число пересечений с прямой $y=p$ равно числу участков, на которых значение $p$ входит в диапазон функции; точки на границах учитываем с учётом знаков неравенств.

При $x<5$: $y=x-2{,}5$, поэтому значения функции меньше $2{,}5$. Пересечение есть при $p<2{,}5$.
При $5\le x\le8$: значения функции идут от $2{,}5$ до $-0{,}5$, включая оба конца. Пересечение есть при $-0{,}5\le pc=2{,}5$.
При $x>8$: $y=x-13$, поэтому значения функции больше $-5$. Пересечение есть при $p>-5$.

При $-5<p<-0{,}5$ прямая пересекает первый и третий участки. При $p=-0{,}5$ она пересекает первый участок и средний в точке $(8;-0{,}5)$. При $p=2{,}5$ она пересекает средний участок в точке $(5;2{,}5)$ и третий участок. В каждом из этих случаев ровно два пересечения.

Следовательно, допустимы $-5<p\le-0{,}5$ и $p=2{,}5$. Наибольшее значение — $2{,}5$.

Ответ: 2,5.