Дана функция z = cos y + (y – x) sin y. Показать, что (x – y) ∂^2 z / (∂x∂y) = ∂z / ∂y.

Решение:

Дана функция \( z = \cos y + (y - x)\sin y \).

Найдем частные производные:

1. Найдем первую частную производную по \( y \):
   \( \frac{\partial z}{\partial y} = -\sin y + (1 \cdot \sin y + (y - x) \cdot \cos y) = -\sin y + \sin y + (y - x)\cos y = (y - x)\cos y \)
2. Найдем вторую частную производную по \( x \) от \( \frac{\partial z}{\partial y} \):
   \( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} ((y - x)\cos y) = -\cos y \)
3. Теперь умножим \( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \) на \( (x - y) \):
   \( (x - y) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = (x - y)(-\cos y) = -(x - y)\cos y = (y - x)\cos y \)
4. Сравним полученный результат с \( \frac{\partial z}{\partial y} \):
   \( (y - x)\cos y = (y - x)\cos y \)

Таким образом, мы показали, что \( (x - y) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial z}{\partial y} \).

Ответ: Равенство доказано.