Дана геометрическая прогрессия: 5; -5\sqrt{2};10 Найдите сумму первых восьми её членов

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: \(\frac{5(1 - (-\sqrt{2})^8)}{1 + \sqrt{2}}\)

Краткое пояснение: Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Шаг 1: Найдем знаменатель прогрессии \(q\).
\(q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-5\sqrt{2}}{5} = -\sqrt{2}\)
Шаг 2: Используем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q} \]
Шаг 3: Подставим известные значения \(b_1 = 5\), \(q = -\sqrt{2}\), \(n = 8\) в формулу:
\[ S_8 = \frac{5(1 - (-\sqrt{2})^8)}{1 - (-\sqrt{2}))} = \frac{5(1 - (-\sqrt{2})^8)}{1 + \sqrt{2}} \]
Вычислим \((-\sqrt{2})^8\):
\[(-\sqrt{2})^8 = (\sqrt{2})^8 = ((\sqrt{2})^2)^4 = 2^4 = 16\]
Подставим это значение в формулу суммы:
\[ S_8 = \frac{5(1 - 16)}{1 + \sqrt{2}} = \frac{5(-15)}{1 + \sqrt{2}} = \frac{-75}{1 + \sqrt{2}} \]
Домножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(1 - \sqrt{2}\):
\[ S_8 = \frac{-75(1 - \sqrt{2})}{(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{-75(1 - \sqrt{2})}{1 - 2} = \frac{-75(1 - \sqrt{2})}{-1} = 75(1 - \sqrt{2}) \]
Шаг 4: Упростим выражение:
\[ S_8 = 75(1 - \sqrt{2}) = 75 - 75\sqrt{2} \]

Ответ: \(\frac{5(1 - (-\sqrt{2})^8)}{1 + \sqrt{2}}\)