1. Дана геометрическая прогрессия (6%). Найдите 61, q, S4, если b = 3n-2 3 2. Найдите такие значения переменной 1, при которых числа 5,26t, t+ 5 образуют геометрическую прогрессию. t •3. Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии (6) равна 5, знаменатель прогрессии равен 2. Найдите в₁ и сумму членов прогрессии с третьего по восьмой вклю- чительно.

1. Геометрическая прогрессия

Дано: \( b_n = \frac{3^{n-2}}{3} \)

Найдем \( b_1, q, S_4 \)

• \( b_1 = \frac{3^{1-2}}{3} = \frac{3^{-1}}{3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9} \)
• \( b_2 = \frac{3^{2-2}}{3} = \frac{3^0}{3} = \frac{1}{3} \)
• \( q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{1} = 3 \)
• \( b_3 = \frac{3^{3-2}}{3} = \frac{3^1}{3} = 1 \)
• \( b_4 = \frac{3^{4-2}}{3} = \frac{3^2}{3} = \frac{9}{3} = 3 \)
• \( S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = \frac{1}{9} + \frac{1}{3} + 1 + 3 = \frac{1}{9} + \frac{3}{9} + \frac{9}{9} + \frac{27}{9} = \frac{1+3+9+27}{9} = \frac{40}{9} \)

Ответ: \( b_1 = \frac{1}{9}, q = 3, S_4 = \frac{40}{9} \)

2. Значение переменной t

Числа \( t-5, 2\sqrt{6t}, t+5 \) образуют геометрическую прогрессию.

Значит, \( \frac{2\sqrt{6t}}{t-5} = \frac{t+5}{2\sqrt{6t}} \)

\( (2\sqrt{6t})^2 = (t-5)(t+5) \)

\( 4 \cdot 6t = t^2 - 25 \)

\( 24t = t^2 - 25 \)

\( t^2 - 24t - 25 = 0 \)

Решаем квадратное уравнение:

• Дискриминант: \( D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-25) = 576 + 100 = 676 \)
• \( \sqrt{D} = \sqrt{676} = 26 \)
• \( t_1 = \frac{24 + 26}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
• \( t_2 = \frac{24 - 26}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Проверим найденные значения:

• При \( t = 25 \): числа \( 20, 2\sqrt{6 \cdot 25}, 30 \) или \( 20, 2\sqrt{150}, 30 \), то есть \( 20, 10\sqrt{6}, 30 \). Отношение \( \frac{10\sqrt{6}}{20} = \frac{\sqrt{6}}{2} \), и \( \frac{30}{10\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{2} \). Подходит.
• При \( t = -1 \): подкоренное выражение становится отрицательным, что недопустимо.

Ответ: \( t = 25 \)

3. Сумма членов прогрессии

Дано: \( S_4 = 5, q = 2 \)

Найдем \( b_1 \) и сумму членов прогрессии с третьего по восьмой включительно.

Сумма первых четырех членов геометрической прогрессии:

\( S_4 = b_1 + b_2 + b_3 + b_4 = b_1 + b_1q + b_1q^2 + b_1q^3 = b_1(1 + q + q^2 + q^3) \)

\( 5 = b_1(1 + 2 + 2^2 + 2^3) = b_1(1 + 2 + 4 + 8) = b_1(15) \)

\( b_1 = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \)

Теперь найдем сумму членов с третьего по восьмой:

\( S_{3-8} = b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7 + b_8 \)

\( S_{3-8} = b_1q^2 + b_1q^3 + b_1q^4 + b_1q^5 + b_1q^6 + b_1q^7 \)

\( S_{3-8} = \frac{1}{3} \cdot 2^2 + \frac{1}{3} \cdot 2^3 + \frac{1}{3} \cdot 2^4 + \frac{1}{3} \cdot 2^5 + \frac{1}{3} \cdot 2^6 + \frac{1}{3} \cdot 2^7 \)

\( S_{3-8} = \frac{1}{3}(4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) = \frac{1}{3}(252) = 84 \)

Ответ: \( b_1 = \frac{1}{3}, S_{3-8} = 84 \)