Дана матрица А = Чему равен определитель данной матрицы? Будет ли он совпадать с определителем транспонированной матрицы?

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Вычисление определителя матрицы A

  Дана матрица: \[ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \\ 0 & 4 & 8 \end{pmatrix} \]

  Определитель матрицы A вычисляется следующим образом: \[ det(A) = 1 \cdot (3 \cdot 8 - 5 \cdot 4) - 0 \cdot (2 \cdot 8 - 5 \cdot 0) + 1 \cdot (2 \cdot 4 - 3 \cdot 0) \]

  Вычисляем значения в скобках: \[ det(A) = 1 \cdot (24 - 20) - 0 + 1 \cdot (8 - 0) \] \[ det(A) = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 8 \] \[ det(A) = 4 + 8 = 12 \]

• Шаг 2: Определение транспонированной матрицы A

  Транспонированная матрица получается путем замены строк столбцами: \[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 8 \end{pmatrix} \]

• Шаг 3: Вычисление определителя транспонированной матрицы A^T

  Определитель транспонированной матрицы A^T вычисляется следующим образом: \[ det(A^T) = 1 \cdot (3 \cdot 8 - 4 \cdot 5) - 2 \cdot (0 \cdot 8 - 4 \cdot 1) + 0 \cdot (0 \cdot 5 - 3 \cdot 1) \]

  Вычисляем значения в скобках: \[ det(A^T) = 1 \cdot (24 - 20) - 2 \cdot (0 - 4) + 0 \] \[ det(A^T) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot (-4) \] \[ det(A^T) = 4 + 8 = 12 \]

• Шаг 4: Сравнение определителей

  Определитель матрицы A равен 12, и определитель транспонированной матрицы A^T также равен 12.

  Таким образом, определитель матрицы A совпадает с определителем транспонированной матрицы A^T.