747. Дана обыкновенная дробь, знаменатель которой на 1 меньше утроен- \nного числителя. Если из неё вычесть другую дробь, числитель которой \nна 2 меньше числителя, а знаменатель на 4 меньше знаменателя дан- \n1 \nной дроби, то получится . Найдите данную дробь.

Привет! Сейчас мы вместе решим эту интересную задачу про обыкновенные дроби. Будь внимателен, и у тебя всё получится!

Решение:

Пусть числитель исходной дроби равен \( x \). Тогда знаменатель будет равен \( 3x - 1 \). Исходная дробь будет иметь вид: \[ \frac{x}{3x-1} \]

Теперь рассмотрим вторую дробь. Её числитель на 2 меньше числителя первой дроби, то есть равен \( x - 2 \). Знаменатель второй дроби на 4 меньше знаменателя первой дроби, то есть равен \( (3x - 1) - 4 = 3x - 5 \). Вторая дробь будет иметь вид: \[ \frac{x-2}{3x-5} \]

Из условия задачи известно, что если из первой дроби вычесть вторую, то получится \( \frac{1}{8} \). Запишем это в виде уравнения: \[ \frac{x}{3x-1} - \frac{x-2}{3x-5} = \frac{1}{8} \]

Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{x(3x-5) - (x-2)(3x-1)}{(3x-1)(3x-5)} = \frac{1}{8} \] Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{3x^2 - 5x - (3x^2 - x - 6x + 2)}{(3x-1)(3x-5)} = \frac{1}{8} \] \[ \frac{3x^2 - 5x - 3x^2 + 7x - 2}{(3x-1)(3x-5)} = \frac{1}{8} \] \[ \frac{2x - 2}{(3x-1)(3x-5)} = \frac{1}{8} \]

Раскроем скобки в знаменателе: \[ \frac{2x - 2}{9x^2 - 15x - 3x + 5} = \frac{1}{8} \] \[ \frac{2x - 2}{9x^2 - 18x + 5} = \frac{1}{8} \]

Теперь умножим обе части уравнения на \( 8(9x^2 - 18x + 5) \): \[ 8(2x - 2) = 9x^2 - 18x + 5 \] \[ 16x - 16 = 9x^2 - 18x + 5 \] \[ 9x^2 - 34x + 21 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[ D = (-34)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 21 = 1156 - 756 = 400 \] Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. \[ x_1 = \frac{34 + \sqrt{400}}{2 \cdot 9} = \frac{34 + 20}{18} = \frac{54}{18} = 3 \] \[ x_2 = \frac{34 - \sqrt{400}}{2 \cdot 9} = \frac{34 - 20}{18} = \frac{14}{18} = \frac{7}{9} \]

Проверим найденные значения. Если \( x = 3 \), то исходная дробь \[ \frac{3}{3 \cdot 3 - 1} = \frac{3}{8} \]. Вторая дробь \[ \frac{3-2}{3 \cdot 3 - 5} = \frac{1}{4} \]. Разность \[ \frac{3}{8} - \frac{1}{4} = \frac{3}{8} - \frac{2}{8} = \frac{1}{8} \]. Это подходит.

Если \( x = \frac{7}{9} \), то знаменатель \( 3 \cdot \frac{7}{9} - 1 = \frac{7}{3} - 1 = \frac{4}{3} \). Тогда первая дробь \( \frac{\frac{7}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{7}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{7}{12} \). Вторая дробь числитель \( \frac{7}{9} - 2 = \frac{7 - 18}{9} = - \frac{11}{9} \), знаменатель \( \frac{4}{3} - 4 = \frac{4 - 12}{3} = - \frac{8}{3} \). Сама дробь \( \frac{-\frac{11}{9}}{-\frac{8}{3}} = \frac{11}{9} \cdot \frac{3}{8} = \frac{11}{24} \). Разность: \[ \frac{7}{12} - \frac{11}{24} = \frac{14 - 11}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8} \]. Но при этом числитель второй дроби отрицательный, что не соответствует условию задачи (обыкновенная дробь). Поэтому, этот корень не подходит.

Итак, искомая дробь равна \( \frac{3}{8} \).

Отлично! Ты хорошо поработал, и у тебя всё получилось! Если ты будешь практиковаться, то сможешь решать ещё более сложные задачи! Удачи!