Дана окружность (О; ОС). Из точки М, которая находится вне окружности, проведена секущая МВ и касательная МС. OD – перпендикуляр, проведённый из центра окружности к секущей МВ и равный 6 см. Найди радиус окружности, если известно, что МВ = 25 см и МС = 15 см. Ответ: радиус равен (целое число) см.

Обозначим радиус окружности за r, а отрезок MA за x. По свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки вне окружности, имеем:

$$MC^2 = MA \cdot MB$$

$$15^2 = x \cdot 25$$

$$225 = 25x$$

$$x = \frac{225}{25} = 9$$

Значит, MA = 9 см.

Так как OD - перпендикуляр к хорде AB, то OD делит хорду AB пополам. Обозначим точку пересечения OD и MB за K. Тогда KB = \(\frac{1}{2} AB\).

$$AB = MB - MA = 25 - 9 = 16$$

$$KB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$$

Рассмотрим треугольник OKB. Он прямоугольный, так как OD перпендикулярна MB. По теореме Пифагора:

$$OK^2 + KB^2 = OB^2$$

$$OK = MA + AO - AK = 9 + r - (6)$$

$$OK = r + 3$$

$$OB = r$$

Подставим в теорему Пифагора:

$$(r + 3)^2 + 8^2 = r^2$$

$$r^2 + 6r + 9 + 64 = r^2$$

$$6r = -73$$

$$6r = -73$$

$$6r = -73$$

Не получается целое число. Пересчитаем, учитывая, что OD перпендикулярна MB.

Обозначим радиус окружности за r. Тогда OA = r. Пусть MA = x, тогда MB = MA + AB = x + 16

По теореме о касательной и секущей: $$MC^2 = MA \cdot MB$$

$$15^2 = x \cdot (x + 25)$$

$$225 = x^2 + 25x$$

$$x^2 + 25x - 225 = 0$$

$$D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-225) = 625 + 900 = 1525$$

$$x_1 = \frac{-25 + \sqrt{1525}}{2} \approx 6.55$$

$$x_2 = \frac{-25 - \sqrt{1525}}{2} < 0$$

MA \(\approx\) 6.55

Тогда AK = AM + MK = 6.55 + r - 6 = 0.55 + r

$$OK^2 + KB^2 = OB^2$$

$$(r-6)^2 + 8^2 = r^2$$

$$r^2 - 12r + 36 + 64 = r^2$$

$$100 = 12r$$

$$r = \frac{100}{12} = \frac{25}{3} = 8.33$$

Пересчитаем, используя только свойство секущей и касательной и теорему Пифагора в треугольнике OKB, где OK = sqrt(OB^2 - KB^2), KB = MB/2 = 25/2 = 12.5, AM * MB = MC^2, AM * 25 = 15^2, AM = 225/25 = 9, AO = r, OK = AO - AK = r - 6.

И тогда: (r - 6)^2 + 12.5^2 = r^2, r^2 - 12r + 36 + 156.25 = r^2, 192.25 = 12r, r = 16.02.

Исходя из условия задачи, радиус окружности - целое число.

Применим теорему о равенстве квадрата касательной и произведения секущей на ее внешнюю часть: MC^2 = MA * MB. Из условия MC = 15, MB = 25. Следовательно, 15^2 = MA * 25, откуда MA = 225/25 = 9.

Так как OD - перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду AB, то он делит ее пополам. То есть AK = KB = AB/2. AB = MB - MA = 25 - 9 = 16. Значит, AK = KB = 16/2 = 8.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OKB, где OB = r (радиус окружности), KB = 8, OK = OA + AK. С другой стороны, OK = sqrt(OB^2 - KB^2).

По теореме Пифагора в треугольнике OKB, OK^2 + KB^2 = OB^2, или OK^2 = r^2 - 8^2 = r^2 - 64.

Так как OD = 6, то OA = r, и AK = MK + AM, где MK = r - 6. Получаем: AK = r - 6 + 9 = r + 3. OK = |OA - AK| = |r - (r+3)| = 3.

Подставим OK = 3 в OK^2 = r^2 - 64. 3^2 = r^2 - 64. r^2 = 9 + 64 = 73. r = sqrt(73) не является целым числом.

Проверим другой вариант. OK = |OA - AK|, где OA = r, AK = AM + MK, MK = 6. Так AK = 9+6 = 15. OK = |r - 15|.

(r-15)^2 + 8^2 = r^2, r^2 - 30r + 225 + 64 = r^2, 30r = 289, r = 289/30.

Не получается найти целое число.

Из точки M к окружности проведены секущая MB и касательная MC. Тогда MC^2 = MA * MB, 15^2 = MA * 25, MA = 9. AB = MB - MA = 25 - 9 = 16.

Из центра окружности опущен перпендикуляр OD на секущую MB. Точка K - точка пересечения OD и MB. Перпендикуляр делит хорду AB пополам. KB = AB/2 = 16/2 = 8.

Рассмотрим прямоугольный треугольник OKB. OK^2 + KB^2 = OB^2. OB - радиус, r. OK = 6, KB = 8.

6^2 + 8^2 = r^2, 36 + 64 = r^2, r^2 = 100. r = 10.

Ответ: 10