Дана окружность с центром в точке О. КС — диаметр, СР — хорда, \(\angle\) КСР = 42°. Чему равен угол КРО?

Решение:

1. Рассмотрим \(\triangle КРО\). Так как \(КO\) и \(РО\) — радиусы окружности, то \(\triangle КРО\) — равнобедренный.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, \(\angle КРО = \angle РКО\).
3. Угол \(\angle КСО\) является центральным углом, опирающимся на дугу \(КР\). Угол \(\angle КРО\) — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу \(КР\).
4. Связь между центральным и вписанным углом: центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Или, вписанный угол равен половине центрального угла.
5. По условию \(\angle КСР = 42°\). Это вписанный угол, опирающийся на дугу \(КР\).
6. Следовательно, величина дуги \(КР\) равна \(2 \cdot \angle КСР = 2 \cdot 42° = 84°\).
7. Центральный угол \(\angle КОР\), опирающийся на дугу \(КР\), равен величине дуги, то есть \(\angle КОР = 84°\).
8. В равнобедренном \(\triangle КРО\) сумма углов равна 180°.
9. \(\angle КРО + \angle РКО + \angle КОР = 180°\).
10. Так как \(\angle КРО = \angle РКО\), то \(2 \cdot \angle КРО + 84° = 180°\).
11. \(2 \cdot \angle КРО = 180° - 84°\)
12. \(2 \cdot \angle КРО = 96°\)
13. \(\angle КРО = \frac{96°}{2} = 48°\)

Ответ: \(48°\).