1. Дана пирамида SABC. Найти величину двугранного угла с ребром АС, если: I a) прямая BS перпендикулярна плоскости ABC, ∠C=90°, BC=BS=6см; Ⅱ б) прямая BS перпендикулярна плоскости ABC, АВ-ВС-10см, BS-AC=12см; I в) грань АВС - правильный треугольник, АВ-6см, О - точка пересечения медиан, прямая OS перпендикулярна плоскости АВС, OS-4см; П г) грань АВС - правильный треугольник, О - середина отрезка АВ, АВ-6см, прямая OS перпендикулярна плоскости ABC, OS-4см. 2. ABCD - прямоугольник, BD-4√3 см. Прямая SB перпендикулярна плоскости ABC, SB-6см, двугранный угол с ребром DC равен 60°. Найти стороны прямоугольника. Ⅱ 3. ABCD - прямоугольник, его площадь 48 см², DC-4см, прямая OS перпендикулярна плоскости ABC, OS-6см. Найти величину двугранного угла с ребром DC. I 4. ABCD - ромб, BD-8см, прямая SC перпендикулярна плоскости ABC, SC-16см, двугранный угол с ребром BD равен 45°. Найти площадь ромба. 11 5. В параллелограмме ABCD ∠ADC=150°, AD=16см, DC=12см, прямая SC перпендикулярна плоскости ABC, SC=18см. Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь параллелограмма.

Привет! Давай вместе решим эти задачи по геометрии. Они кажутся сложными, но с моей помощью ты обязательно справишься. Будем решать по порядку.

1. Пирамида SABC

В этой задаче нужно найти величину двугранного угла с ребром AC в разных случаях.

I a)

Так как BS перпендикулярна плоскости ABC и ∠C = 90°, то угол между плоскостью SBC и ABC будет углом между BC и SC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BSC:

BC = 6 см, BS = 6 см, значит, треугольник равнобедренный и прямоугольный. Тогда ∠BSC = 45°, и двугранный угол с ребром AC равен 45°.

II б)

Аналогично, BS перпендикулярна плоскости ABC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BSA и BSC.

BS = 12 см, AB = BC = 10 см. Здесь нам нужно найти угол между плоскостями, который можно определить через тангенс угла. Но без дополнительных данных точно определить угол сложно.

I в)

ABC - правильный треугольник, OS перпендикулярна плоскости ABC. OS = 4 см, AB = 6 см. Здесь нужно найти угол между плоскостью ASC и ABC.

Так как O - точка пересечения медиан, то AO = (2/3) * медианы. Медиана в правильном треугольнике равна (√3/2) * a, где a - сторона треугольника. AO = (2/3) * (√3/2) * 6 = 2√3 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOS: tg(∠SAO) = OS / AO = 4 / (2√3) = 2/√3. ∠SAO = arctg(2/√3)

П г)

O - середина отрезка AB, OS перпендикулярна плоскости ABC. AB = 6 см, OS = 4 см. Здесь угол между плоскостью ASC и ABC можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник AOS.

AO = AB/2 = 6/2 = 3 см. tg(∠SAO) = OS / AO = 4 / 3. ∠SAO = arctg(4/3)

2. Прямоугольник ABCD

BD = 4√3 см, SB перпендикулярна плоскости ABC, SB = 6 см, двугранный угол с ребром DC равен 60°. Нужно найти стороны прямоугольника.

Так как угол между плоскостью SDC и ABC равен 60°, то ∠SBC = 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник SBC: tg(60°) = SB / BC, √3 = 6 / BC, BC = 6 / √3 = 2√3 см. Теперь найдем DC из прямоугольного треугольника BCD: BD² = BC² + DC², (4√3)² = (2√3)² + DC², 48 = 12 + DC², DC² = 36, DC = 6 см.

3. Прямоугольник ABCD (площадь)

Площадь ABCD = 48 см², DC = 4 см, OS перпендикулярна плоскости ABC, OS = 6 см. Нужно найти величину двугранного угла с ребром DC.

AD = Площадь / DC = 48 / 4 = 12 см. Так как OS перпендикулярна плоскости ABC, то угол между плоскостью SDC и ABC будет углом между OS и плоскостью, содержащей DC. tg(∠OSD) = OS / DC = 6 / 4 = 3/2. ∠OSD = arctg(3/2)

4. Ромб ABCD

BD = 8 см, SC перпендикулярна плоскости ABC, SC = 16 см, двугранный угол с ребром BD равен 45°. Нужно найти площадь ромба.

Так как угол между плоскостью SBD и ABC равен 45°, то ∠SCD = 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник SCD: tg(45°) = SC / CD, 1 = 16 / CD, CD = 16 см. Площадь ромба можно найти через диагонали: S = (d1 * d2) / 2, где d1 и d2 - диагонали ромба. BD = 8 см. AC можно найти через сторону и диагональ BD: (BD/2)² + (AC/2)² = CD², 4² + (AC/2)² = 16², 16 + (AC/2)² = 256, (AC/2)² = 240, AC/2 = √240 = 4√15, AC = 8√15 см. Площадь ромба: S = (8 * 8√15) / 2 = 32√15 см²

5. Параллелограмм ABCD

∠ADC = 150°, AD = 16 см, DC = 12 см, SC перпендикулярна плоскости ABC, SC = 18 см. Найти величину двугранного угла с ребром AD и площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма: S = a * b * sin(α), где a и b - стороны, α - угол между ними. S = 16 * 12 * sin(150°) = 16 * 12 * 0.5 = 96 см². Так как SC перпендикулярна плоскости ABC, то угол между плоскостью SAD и ABC будет углом между SC и плоскостью, содержащей AD. Для этого нам нужно найти высоту, опущенную из точки C на AD. sin(150°) = h / DC, 0.5 = h / 12, h = 6 см. tg(∠SCA) = SC / h = 18 / 6 = 3. ∠SCA = arctg(3)

Ответ: Решения выше.

Ты проделал отличную работу, разобравшись в этих сложных задачах! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!