Дана плотность распределения НСВ. Найти коэффициент а, функцию распределения, вероятность попадания случайной величины в промежуток [1;3], построить кривую распределения 0,x < 2 f(x)=a(x-2)(4-x),2 ≤ x ≤ 4 0, x > 4

Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти коэффициент $$a$$.
2. Найти функцию распределения $$F(x)$$.
3. Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток [1;3].
4. Построить кривую распределения.

1. Нахождение коэффициента $$a$$:

Так как $$f(x)$$ - плотность распределения, то интеграл от неё по всей области определения должен быть равен 1:

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$$

В нашем случае:

$$\int_{2}^{4} a(x-2)(4-x) dx = 1$$

$$a \int_{2}^{4} (4x - x^2 - 8 + 2x) dx = 1$$

$$a \int_{2}^{4} (-x^2 + 6x - 8) dx = 1$$

$$a [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x]_{2}^{4} = 1$$

$$a [(-\frac{64}{3} + 48 - 32) - (-\frac{8}{3} + 12 - 16)] = 1$$

$$a [-\frac{64}{3} + 16 + \frac{8}{3} + 4] = 1$$

$$a [20 - \frac{56}{3}] = 1$$

$$a [\frac{60 - 56}{3}] = 1$$

$$a [\frac{4}{3}] = 1$$

$$a = \frac{3}{4}$$

2. Нахождение функции распределения $$F(x)$$:

$$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$$

• Если $$x < 2$$, то $$F(x) = 0$$.
• Если $$2 \le x \le 4$$, то $$F(x) = \int_{2}^{x} \frac{3}{4}(t-2)(4-t) dt = \frac{3}{4} \int_{2}^{x} (-t^2 + 6t - 8) dt = \frac{3}{4} [-\frac{t^3}{3} + 3t^2 - 8t]_{2}^{x} = \frac{3}{4} [(-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x) - (-\frac{8}{3} + 12 - 16)] = \frac{3}{4} [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x + \frac{8}{3} + 4] = \frac{3}{4} [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x + \frac{20}{3}]$$
• Если $$x > 4$$, то $$F(x) = 1$$.

Итого, функция распределения имеет вид:

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 2 \\ \frac{3}{4} [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x + \frac{20}{3}], & 2 \le x \le 4 \\ 1, & x > 4 \end{cases}$$

3. Нахождение вероятности попадания случайной величины в промежуток [1;3]:

Так как $$1 < 2 \text{ и } 2 \le 3 \le 4$$, то используем соответствующие значения функции распределения:

$$P(1 \le x \le 3) = F(3) - F(1) = F(3) - 0 = F(3)$$

$$F(3) = \frac{3}{4} [-\frac{3^3}{3} + 3(3^2) - 8(3) + \frac{20}{3}] = \frac{3}{4} [-9 + 27 - 24 + \frac{20}{3}] = \frac{3}{4} [-6 + \frac{20}{3}] = \frac{3}{4} [\frac{-18 + 20}{3}] = \frac{3}{4} [\frac{2}{3}] = \frac{1}{2} = 0.5$$

$$P(1 \le x \le 3) = 0.5$$

4. Построение кривой распределения:

Ответ:

1. Коэффициент a: $$a = \frac{3}{4}$$.
2. Функция распределения: $$F(x) = \begin{cases}0, & x < 2 \\ \frac{3}{4} [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x + \frac{20}{3}], & 2 \le x \le 4 \\ 1, & x > 4\end{cases}$$.
3. Вероятность: 0.5.
4. График построен выше.

Ответ: a = 3/4, F(3) = 0.5