Дана правильная четырёхугольная пирамида КABCD, все рёбра которой равны 16 ед. изм. На рёбрах КС и KD соответственно отмечены серединные точки М и N. Определи косинус угла α между прямыми AN и DM. (Ответ запиши в виде сокращённой дроби.)

Решение:

Обозначим вершину пирамиды как K, а основание как ABCD. Все рёбра равны 16.

M — середина ребра KC, N — середина ребра KD. Следовательно, KM = MC = KN = ND = 16 / 2 = 8.

Рассмотрим треугольник KCD. По теореме косинусов для треугольника CDN:

\( CN^2 = CD^2 + ND^2 - 2 · CD · ND · \cos(\angle KDC) \)

Так как пирамида правильная, основание ABCD — квадрат. Ребро KD = 16. Угол между боковым ребром и стороной основания в правильной пирамиде неизвестен, но мы можем найти длины AN и DM.

Рассмотрим треугольник AKD. AN — медиана. DM — медиана.

В треугольнике KCD, DM и CN — медианы. Точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1. Однако, нас интересует угол между прямыми AN и DM.

Введём систему координат. Пусть K = (0, 0, h), где h — высота пирамиды. Основание ABCD лежит в плоскости z = 0.

Пусть центр квадрата ABCD — начало координат (0, 0, 0). Тогда стороны квадрата параллельны осям x и y.

Пусть A = (-a, -a, 0), B = (a, -a, 0), C = (a, a, 0), D = (-a, a, 0). Сторона квадрата равна 2a. Диагональ квадрата AC = BD = \( ± √{ (2a)^2 + (2a)^2 } \) = \( ± √{8a^2} \) = \( ± 2a√{2} \).

Длина бокового ребра равна 16. \( KC^2 = (a-0)^2 + (a-0)^2 + (0-h)^2 = a^2 + a^2 + h^2 = 2a^2 + h^2 = 16^2 = 256 \).

С другой стороны, в правильной пирамиде боковое ребро связано со стороной основания и высотой. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, радиусом описанной окружности основания и боковым ребром. Радиус описанной окружности квадрата R = \( \frac{2a}{2} \) = a. Тогда \( h^2 + R^2 = 16^2 \) → \( h^2 + a^2 = 256 \). Это ошибка, R - радиус описанной окружности, а не половина стороны. Диагональ квадрата \( AC = 2a√{2} \). Радиус описанной окружности \( R = \frac{AC}{2} = a√{2} \). Тогда \( h^2 + (a√{2})^2 = 16^2 \) → \( h^2 + 2a^2 = 256 \). Совпадает с предыдущим. Это значит, что мы не можем определить 'a' и 'h' однозначно, только их связь.

Вернёмся к задаче. Дано, что все рёбра равны 16. Значит, боковые рёбра KA=KB=KC=KD=16 и ребра основания AB=BC=CD=DA=16.

Пусть K = (0, 0, h). Основание ABCD — квадрат со стороной 16. Центр квадрата — (0, 0, 0). Координаты вершин основания:

A = (-8, -8, 0), B = (8, -8, 0), C = (8, 8, 0), D = (-8, 8, 0).

Высота пирамиды h: \( h^2 + (8√{2})^2 = 16^2 \) → \( h^2 + 128 = 256 \) → \( h^2 = 128 \) → \( h = √{128} = 8√{2} \).

K = (0, 0, 8√{2}).

M — середина KC. C = (8, 8, 0). M = \( \frac{K+C}{2} \) = \( (\frac{0+8}{2}, \frac{0+8}{2}, \frac{8√{2}+0}{2}) \) = (4, 4, 4√{2}).

N — середина KD. D = (-8, 8, 0). N = \( \frac{K+D}{2} \) = \( (\frac{0-8}{2}, \frac{0+8}{2}, \frac{8√{2}+0}{2}) \) = (-4, 4, 4√{2}).

AN — вектор: \( →{AN} = N - A = (-4 - (-8), 4 - (-8), 4√{2} - 0) \) = (4, 12, 4√{2}).

DM — вектор: \( →{DM} = M - D = (4 - (-8), 4 - 8, 4√{2} - 0) \) = (12, -4, 4√{2}).

Косинус угла \( α \) между векторами \( →{AN} \) и \( →{DM} \) находится по формуле:

\( ³ \alpha = \frac{→{AN} · →{DM}}{|→{AN}| |→{DM}|} \)

Скалярное произведение:

\( →{AN} · →{DM} = (4 · 12) + (12 · (-4)) + (4√{2} · 4√{2}) \)

\( = 48 - 48 + (16 · 2) = 32 \).

Длины векторов:

\( |→{AN}| = √{4^2 + 12^2 + (4√{2})^2} = √{16 + 144 + 32} = √{192} \)

\( |→{DM}| = √{12^2 + (-4)^2 + (4√{2})^2} = √{144 + 16 + 32} = √{192} \)

\( |→{AN}| = |→{DM}| = √{64 · 3} = 8√{3} \).

\( ³ \alpha = \frac{32}{(8√{3}) (8√{3})} = \frac{32}{64 · 3} = \frac{32}{192} \).

Сокращаем дробь:

\( \frac{32}{192} = \frac{16}{96} = \frac{8}{48} = \frac{1}{6} \).

Ответ: cos α = 1/6.