Дана правильная монета, т.е. выпадение "орла" и "решки" равновероятно. Эту монету бросают пять раз. Найдите вероятность того, что "орёл" выпал не менее двух раз.

Решение:

Эта задача решается с использованием формулы Бернулли, но проще найти вероятность противоположного события и вычесть её из 1.

Всего исходов при 5 бросках монеты: \( 2^5 = 32 \).

Противоположное событие: "орёл" выпал менее двух раз, то есть 0 раз или 1 раз.

1. Случай 0 "орлов": Все 5 раз выпали "решки". Существует только 1 такой исход (РРРРР).
2. Случай 1 "орёл": "Орёл" может выпасть на любом из 5 бросков. Число таких исходов равно числу сочетаний из 5 по 1: \( C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5}{1} = 5 \).

Общее число исходов, где "орёл" выпал менее двух раз: \( 1 + 5 = 6 \).

Вероятность противоположного события: \( P(\text{менее 2 орлов}) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число исходов}} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16} \).

Вероятность того, что "орёл" выпал не менее двух раз: \( P(\text{не менее 2 орлов}) = 1 - P(\text{менее 2 орлов}) = 1 - \frac{3}{16} = \frac{16}{16} - \frac{3}{16} = \frac{13}{16} \).

Ответ: \( \frac{13}{16} \).