Дана правильная треугольная пирамида $$SABC$$. $$S$$ – вершина пирамиды, $$SA = 25\sqrt{3}$$, а тангенс угла между плоскостями $$ASB$$ и $$ABC$$ равен $$\frac{7}{12}$$. Найдите длину стороны основания пирамиды.

Решение:

1. Пусть сторона основания равна a, а высота боковой грани (апофема) равна h.
2. Тангенс угла между плоскостями $$ASB$$ и $$ABC$$ равен отношению высоты пирамиды к половине стороны основания. Обозначим тангенс угла как tg(α). Тогда: \[ tg(\alpha) = \frac{7}{12} \]
3. Высота боковой грани h равна $$SA = 25\sqrt{3}$$.
4. Найдем сторону основания a, используя тангенс угла и высоту боковой грани. В правильной треугольной пирамиде высота падает в центр основания, который является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Высота основания равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), а расстояние от вершины основания до центра равно \(\frac{2}{3}\) этой высоты, то есть \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\).
5. Тангенс угла между боковой гранью и основанием выражается как отношение высоты боковой грани к расстоянию от центра основания до середины стороны основания, то есть: \[ tg(\alpha) = \frac{h}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{6h}{a\sqrt{3}} \]
6. Подставим известные значения: \[ \frac{7}{12} = \frac{6 \cdot 25\sqrt{3}}{a\sqrt{3}} \]
7. Решим уравнение относительно a: \[ a = \frac{6 \cdot 25\sqrt{3} \cdot 12}{7\sqrt{3}} = \frac{6 \cdot 25 \cdot 12}{7} = \frac{1800}{7} \]