Дана правильная треугольная призма ABCA₁B₁C₁, ребро основания которой 12, боковое ребро 8. Точка P — середина ребра AB. Постройте сечение призмы плоскостью B₁C₁P и найдите его площадь. Представьте найденную площадь в виде S = a√b, где b — простое число, и в ответе запишите значение числа a + b.

Сечение — треугольник PB₁C₁: точки P, B₁ и C₁ лежат в секущей плоскости, а эта плоскость пересекает призму только по отрезкам PB₁, B₁C₁ и C₁P.

Положим A(0; 0; 0), B(12; 0; 0), C(6; 6√3; 0), а высоту призмы направим по оси z. Тогда P(6; 0; 0), B₁(12; 0; 8), C₁(6; 6√3; 8).

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения PB₁ и PC₁. Имеем PB₁ = (6; 0; 8), PC₁ = (0; 6√3; 8), поэтому PB₁ × PC₁ = (−48√3; −48; 36√3).

Следовательно, S = ½√((48√3)² + 48² + (36√3)²) = ½√13104 = 6√91. Здесь a = 6, b = 91, причём 91 не является простым числом: 91 = 7 · 13. Поэтому требуемое условие «b — простое число» несовместимо с полученной площадью в виде a√b. Площадь можно записать как 6√91 или 42√13, и во втором виде подкоренное число простое.

Ответ: при записи площади с простым подкоренным числом S = 42√13, поэтому a + b = 55.