44. Дана правильная треугольная призма АВСА,В,С, все рёбра которой равны 1. Точка К – середина ребра ВС. Найдите расстояния: а) от точки В до прямоїй КО • 6) от точки А до прямой В.В в) от точки к до прямоїй А.С г) от точки А до плоскости ВСА д) от точки К. до плоскости АВ,C.

Решение:

а) Расстояние от точки B до прямой KC.

Так как призма правильная, то все её ребра равны 1. Точка K - середина ребра BC, следовательно, ВК=0,5.

Прямая KC перпендикулярна BC, так как призма правильная, а треугольник ABC - правильный, то угол ABC=90 градусов.

Искомое расстояние - это длина отрезка ВК.

Следовательно, расстояние от точки В до прямой KC равно 0,5.

б) Расстояние от точки A до прямой B₁C₁.

Рассмотрим прямоугольник BCC₁B₁. Так как все ребра призмы равны 1, то BB₁=BC=C₁B₁=1.

Расстояние от точки A до прямой B₁C₁ равно длине перпендикуляра, проведенного из точки A к прямой B₁C₁.

Опустим перпендикуляр из точки A на прямую B₁C₁, обозначим его AH. AH является высотой треугольника AB₁C₁.

Треугольник AB₁C₁ - равнобедренный, так как AB₁=AC₁=√2.

Высота AH также является медианой, следовательно, H - середина B₁C₁.

Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB₁. AH = √(AB₁² - HB₁²) = √((√2)² - (0.5)²) = √(2 - 0.25) = √1.75 = √(7/4) = √7 / 2

Следовательно, расстояние от точки A до прямой B₁C₁ равно √7 / 2.

в) Расстояние от точки K до прямой A₁C₁.

Прямая А₁C₁ параллельна прямой AC. Расстояние между этими прямыми равно расстоянию между плоскостями АВС и А₁B₁C₁.

Расстояние от точки K до прямой A₁C₁ равно расстоянию от точки K до прямой AC.

Так как треугольник ABC - правильный, то высота, опущенная из точки B на AC, равна BH = √(1² - (0.5)²) = √(1 - 0.25) = √0.75 = √3 / 2

Расстояние от точки K до AC равно половине высоты BH, так как K - середина BC.

Следовательно, расстояние от точки K до прямой AC равно (√3 / 2) / 2 = √3 / 4.

г) Расстояние от точки A до плоскости BCA₁.

Так как плоскость BCA₁ содержит прямую BC, то расстояние от точки A до плоскости BCA₁ равно расстоянию от точки A до прямой BC.

Треугольник ABC - правильный, следовательно, высота, опущенная из точки A на BC, равна высоте правильного треугольника со стороной 1.

Высота правильного треугольника со стороной 1 равна √3 / 2.

Следовательно, расстояние от точки A до плоскости BCA₁ равно √3 / 2.

д) Расстояние от точки K до плоскости AB₁C₁.

Рассмотрим плоскость AB₁C₁.

Расстояние от точки K до плоскости AB₁C₁ равно длине перпендикуляра, проведенного из точки K к плоскости AB₁C₁.

Опустим перпендикуляр из точки K на плоскость AB₁C₁, обозначим его KL. KL - искомое расстояние.

Выразим объем тетраэдра KAB₁C₁ двумя способами.

1. Объем тетраэдра KAB₁C₁ равен 1/3 * S(AB₁C₁) * KL, где S(AB₁C₁) - площадь треугольника AB₁C₁.

2. Объем тетраэдра KAB₁C₁ равен 1/3 * S(ABC) * h, где S(ABC) - площадь треугольника ABC, h - высота, опущенная из точки K на плоскость ABC.

Так как K - середина BC, то h = BB₁ / 2 = 1 / 2.

Площадь треугольника ABC равна (1² * √3) / 4 = √3 / 4.

Площадь треугольника AB₁C₁ можно найти по формуле Герона. AB₁ = AC₁ = √2, B₁C₁ = 1. Полупериметр p = (√2 + √2 + 1) / 2 = (2√2 + 1) / 2.

S(AB₁C₁) = √(p(p - AB₁)(p - AC₁)(p - B₁C₁)) = √(((2√2 + 1) / 2) * ((2√2 + 1) / 2 - √2) * ((2√2 + 1) / 2 - √2) * ((2√2 + 1) / 2 - 1)) = √(((2√2 + 1) / 2) * ((1) / 2) * ((1) / 2) * ((2√2 - 1) / 2)) = √(3/16) = √3 / 4.

Приравняем объемы тетраэдра KAB₁C₁: 1/3 * (√3 / 4) * KL = 1/3 * (√3 / 4) * (1 / 2).

KL = 1 / 2.

Следовательно, расстояние от точки K до плоскости AB₁C₁ равно 1/2.

Ответ: а) 0,5; б) √7 / 2; в) √3 / 4; г) √3 / 2; д) 1/2.