2. Дана правильная усеченная пирамида, боковое ребро которой равно 5 см, а в основаниях лежат: треугольники со сторонами 1 см и 9 см. • Найдите: а) апофему усеченной пирамиды; б) площадь боковой грани; в) площадь боковой поверхности усеченной пирамиды; г) площадь меньшего основания; д) площадь большего основания; е) площадь поверхности усеченной пирамиды.

Решение:

а) Апофема усеченной пирамиды:

Рассмотрим равнобедренную трапецию, образованную боковой гранью. Боковые стороны этой трапеции являются боковыми ребрами усеченной пирамиды и равны 5 см. Основания трапеции - стороны треугольников в основаниях, равные 1 см и 9 см. Апофема является высотой этой трапеции.

Проведем высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Получим два прямоугольных треугольника и прямоугольник. Длина отрезка большего основания, заключенного между высотами, равна 1 см. Тогда на два прямоугольных треугольника приходится 9 - 1 = 8 см, и на каждый треугольник приходится 4 см.

Теперь, используя теорему Пифагора, найдем апофему (\(a\)):

\[a = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ см}\]

б) Площадь боковой грани:

Площадь боковой грани (трапеции) можно найти по формуле:

\[S_{\text{грани}} = \frac{a + b}{2} \cdot h,\]

где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, а \(h\) - высота трапеции (апофема).

В данном случае:

• \(a = 1\) см
• \(b = 9\) см
• \(h = 3\) см

Тогда:

\[S_{\text{грани}} = \frac{1 + 9}{2} \cdot 3 = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15 \text{ см}^2\]

в) Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды:

Так как пирамида правильная, все боковые грани равны. В основании лежат треугольники, значит, боковых граней 3.

Площадь боковой поверхности (\(S_{\text{бок}}\)) равна:

\[S_{\text{бок}} = 3 \cdot S_{\text{грани}} = 3 \cdot 15 = 45 \text{ см}^2\]

г) Площадь меньшего основания:

Меньшее основание - равносторонний треугольник со стороной 1 см. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2,\]

где \(a\) - сторона треугольника.

В данном случае:

\[S_{\text{меньш}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \approx 0.433 \text{ см}^2\]

д) Площадь большего основания:

Большее основание - равносторонний треугольник со стороной 9 см.

\[S_{\text{больш}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 9^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 81 = \frac{81\sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \approx 35.074 \text{ см}^2\]

е) Площадь поверхности усеченной пирамиды:

Площадь полной поверхности (\(S_{\text{полн}}\)) равна сумме площадей боковой поверхности и площадей обоих оснований:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + S_{\text{меньш}} + S_{\text{больш}}\]

В данном случае:

\[S_{\text{полн}} = 45 + \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{81\sqrt{3}}{4} = 45 + \frac{82\sqrt{3}}{4} = 45 + \frac{41\sqrt{3}}{2} \approx 45 + 35.51 \approx 80.51 \text{ см}^2\]

Ответы:

• а) 3 см
• б) 15 см²
• в) 45 см²
• г) \(\frac{\sqrt{3}}{4}\) см² \(\approx 0.433\) см²
• д) \(\frac{81\sqrt{3}}{4}\) см² \(\approx 35.074\) см²
• е) \(45 + \frac{41\sqrt{3}}{2}\) см² \(\approx 80.51\) см²