Дана прямая l и точка O, не лежащая на ней. Используя гомотетию с центром в точке O, докажите, что множество середин всех отрезков OX, где X — любая точка прямой l, есть прямая, параллельная прямой l.

Рассмотрим гомотетию с центром в точке \(O\) и коэффициентом \(k=\frac12\). При этой гомотетии любая точка \(X\) переходит в точку \(M\), для которой \(M\) лежит на отрезке \(OX\) и \(OM=\frac12OX\). Следовательно, точка \(M\) является серединой отрезка \(OX\).

Поэтому множество всех середин отрезков \(OX\), где \(X\in l\), является образом прямой \(l\) при данной гомотетии. Гомотетия переводит прямую, не проходящую через центр гомотетии, в прямую, параллельную исходной. Так как \(O\notin l\), образом прямой \(l\) будет прямая \(l'\), параллельная \(l\).

Ответ: множество середин всех отрезков \(OX\) есть прямая, параллельная прямой \(l\).