Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 6 см. Меньшая боковая сторона равна 10 см, а большая боковая сторона образует с основанием угол 45°. Найди площадь трапеции.

Для решения задачи нам нужно найти площадь трапеции. Прямоугольная трапеция имеет два основания: меньшее, равное 6 см, и большее, которое мы обозначим как a. Также даны меньшая боковая сторона, равная 10 см, и угол 45°, образованный большей боковой стороной и меньшим основанием. Из треугольника с углом 45° можно определить длину проекции большей боковой стороны на основание, которая равна \(10 \cdot \cos(45°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\). Тогда большее основание равно \(6 + 5\sqrt{2}\). Высота трапеции равна \(10 \cdot \sin(45°) = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\). Площадь трапеции рассчитывается как \(S = \frac{1}{2} \cdot (\text{меньшее основание} + \text{большее основание}) \cdot \text{высота}\). Подставляем значения: \(S = \frac{1}{2} \cdot (6 + 6 + 5\sqrt{2}) \cdot 5\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot (12 + 5\sqrt{2}) \cdot 5\sqrt{2}\). Упрощаем: \(S = \frac{1}{2} \cdot (60\sqrt{2} + 50)\). Итоговый ответ: \(S = 30\sqrt{2} + 25\ см^2\).