Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 5 см. Меньшая боковая сторона равна 16 см, а большая боковая сторона образует с основанием угол 45°. Найди площадь трапеции.

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD
• BC (меньшее основание) = 5 см
• CD (меньшая боковая сторона) = 16 см
• ∠ ADC = 45°

Найти:

• Площадь трапеции S

Решение:

1. Определение элементов трапеции:
• Так как трапеция прямоугольная, то ∠ BCD = 90° и ∠ CDA = 45°.
• Большая боковая сторона AD образует с основанием CD угол 45°.
• Опустим высоту из вершины C на большее основание AD. Пусть точка пересечения будет H.
• Четырехугольник HBCB является прямоугольником, следовательно, BH = BC = 5 см и CH = BC = 5 см.
2. Вычисление длины основания CD:
• В прямоугольном треугольнике CDH, ∠ D = 45°.
• Так как ∠ D = 45°, то треугольник CDH равнобедренный, следовательно, DH = CH = 5 см.
• CD = DH + HC = 5 + 5 = 10 см.
3. Вычисление площади трапеции:
• Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = ½ * (a + b) * h, где a и b - основания, h - высота.
• В нашем случае: a = AD, b = BC = 5 см.
• Для нахождения AD, нам нужно найти длину большей боковой стороны.
• Так как трапеция прямоугольная, то AD = BC + DH (где DH - отрезок, который мы найдем, опустив высоту из C).
• В треугольнике CDH, ∠ D = 45°. У нас есть CH = 5 см (высота, равная меньшему основанию).
• Мы ищем CD. Используем тригонометрию: sin(45°) = CH / CD.
• CD = CH / sin(45°) = 5 / (sqrt(2)/2) = 10/sqrt(2) = 5sqrt(2) см.
• Найдем DH. tan(45°) = CH / DH.
• 1 = 5 / DH r DH = 5 см.
• Теперь найдем AD: AD = BC + DH = 5 + 5 = 10 см.
• Площадь трапеции: S = ½ * (AD + BC) * CH = ½ * (10 + 5) * 5 = ½ * 15 * 5 = 75/2 = 37.5 см².
4. Перепроверка:
• Меньшее основание (b) = 5 см.
• Большее основание (a) = 10 см.
• Высота (h) = 5 см.
• Площадь = (5+10)/2 * 5 = 15/2 * 5 = 7.5 * 5 = 37.5 см².

Ответ: площадь трапеции равна 37.5 см².