Дана прямоугольная трапеция МПКР с основаниями NK и МР. Площадь этой трапеции равна 54 см². Из вершины К на основание МР опущена высота КН. Известно, что ∠HKP = 45°, КН = NK. Найдите длину большего основания трапеции.

Разбор задачи:

Нам дана прямоугольная трапеция МПКР. Это значит, что углы при основании МР равны 90 градусов, то есть ∠М = ∠Р = 90°. Основания трапеции — это NK и МР. Площадь трапеции равна 54 см².

Из вершины К на основание МР опущена высота КН. Это значит, что КН ⊥ МР, и ∠КНР = 90°.

Также дано, что ∠HKP = 45° и КН = NK.

Нужно найти длину большего основания трапеции. Так как трапеция прямоугольная, то МР — большее основание, а NK — меньшее.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник НКР. У нас есть:

• ∠НКР = 90° (так как трапеция прямоугольная).
• ∠HKP = 45° (дано).

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, ∠KPR = 180° - 90° - 45° = 45°.

Поскольку ∠HKP = ∠KPR = 45°, треугольник НКР является равнобедренным. Следовательно, стороны, лежащие напротив равных углов, равны: КН = НР.

Из условия задачи мы знаем, что КН = NK. Значит, NK = НР.

Теперь рассмотрим площадь трапеции. Формула площади трапеции:

$$ S = \frac{a + b}{2} \times h $$

Где a и b — основания, а h — высота.

В нашей задаче:

• a = NK
• b = МР
• h = КН

Площадь S = 54 см².

Также мы знаем, что МР = МН + НР. Поскольку трапеция прямоугольная, МН = NK.

Тогда МР = NK + НР.

Мы установили, что NK = НР, значит МР = NK + NK = 2 * NK.

Подставим это в формулу площади:

$$ 54 = \frac{NK + 2 \times NK}{2} \times КН $$

$$ 54 = \frac{3 \times NK}{2} \times КН $$

Так как КН = NK, мы можем заменить КН на NK:

$$ 54 = \frac{3 \times NK}{2} \times NK $$

$$ 54 = \frac{3}{2} \times NK^2 $$

Теперь найдем NK²:

$$ NK^2 = 54 \times \frac{2}{3} $$

$$ NK^2 = 18 \times 2 $$

$$ NK^2 = 36 $$

Извлечем квадратный корень:

$$ NK = \sqrt{36} = 6 $$

Значит, длина меньшего основания NK = 6 см.

Теперь найдем длину большего основания МР. Мы знаем, что МР = 2 * NK:

$$ МР = 2 \times 6 = 12 $$

Ответ: 12 см