Дана прямоугольная трапеция МПКР с основаниями ПК и МР. Площадь этой трапеции равна 54 см². Из вершины К на основание МР опущена высота КН. Известно, что <HKP = 45°, KH = NK. Найдите длину большего основания трапеции.

Решение:

Для решения этой задачи нам понадобится формула площади трапеции и свойства прямоугольного треугольника.

Дано:

• Трапеция МПКР, прямоугольная.
• Основания: ПК и МР.
• Площадь S = 54 см².
• Высота КН опущена из К на МР.
• ∠HKP = 45°.
• KH = NK.

Найти: Длину большего основания трапеции (МР).

1. Анализ данных:
   • Так как трапеция прямоугольная, то углы ∠KMP и ∠PKM равны 90°.
   • Высота КН означает, что ∠KNH = 90°.
   • В прямоугольном треугольнике КНР, ∠HKP = 45°, следовательно, ∠KPH = 90° - 45° = 45°.
   • Треугольник КНР - равнобедренный прямоугольный, значит, KH = NP.
   • Из условия KH = NK, следует, что NK = NP.
2. Формула площади трапеции:
3. \[ S = \frac{PK + MP}{2} \times KH \]
4. Подставим известные значения:
5. \[ 54 = \frac{PK + MP}{2} \times KH \]
6. \[ 108 = (PK + MP) \times KH \]
7. Связь между основаниями и высотой:
   • MP = MK + KP + PN.
   • В прямоугольной трапеции боковая сторона NK является высотой, то есть NK = KH.
   • Так как KH = NK, то NK = KH.
   • Также, MK = KH (как противоположные стороны прямоугольника M N K P).
   • MP = MN + NP.
   • MN = KH.
   • NP = KH (из равнобедренного треугольника КНР).
   • Таким образом, MP = KH + KH = 2 imes KH.
   • PK = MN = KH.
8. Подставим в формулу площади:
   • 108 = (KH + 2 imes KH) imes KH
   • 108 = (3 imes KH) imes KH
   • 108 = 3 imes KH^2
   • KH^2 = \frac{108}{3}
   • KH^2 = 36
   • KH = \sqrt{36}
   • KH = 6 ext{ см}
9. Находим большее основание (МР):
10. MP = 2 imes KH
11. MP = 2 imes 6 \text{ см}
12. MP = 12 ext{ см}

Ответ: 12 см