Дана система линейных уравнений \begin{cases} \frac{3x + 4y}{5} - \frac{2x - 6y}{3} = 1, \\ \frac{x + 6y}{5} - \frac{x - 4y}{4} = 2 \end{cases} и графики двух линейных функций: Определите число решений системы линейных уравнений.

Решение:

Давай решим эту систему уравнений и определим число решений.

Исходная система уравнений:

\[\begin{cases} \frac{3x + 4y}{5} - \frac{2x - 6y}{3} = 1 \\ \frac{x + 6y}{5} - \frac{x - 4y}{4} = 2 \end{cases}\]

Умножим каждое уравнение на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей.

Для первого уравнения общий знаменатель равен 15. Умножаем обе части первого уравнения на 15:

\[15 \cdot (\frac{3x + 4y}{5} - \frac{2x - 6y}{3}) = 15 \cdot 1\] \[3(3x + 4y) - 5(2x - 6y) = 15\] \[9x + 12y - 10x + 30y = 15\] \[-x + 42y = 15\]

Для второго уравнения общий знаменатель равен 20. Умножаем обе части второго уравнения на 20:

\[20 \cdot (\frac{x + 6y}{5} - \frac{x - 4y}{4}) = 20 \cdot 2\] \[4(x + 6y) - 5(x - 4y) = 40\] \[4x + 24y - 5x + 20y = 40\] \[-x + 44y = 40\]

Теперь у нас есть новая система уравнений:

\[\begin{cases} -x + 42y = 15 \\ -x + 44y = 40 \end{cases}\]

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить x:

\[(-x + 44y) - (-x + 42y) = 40 - 15\] \[-x + 44y + x - 42y = 25\] \[2y = 25\] \[y = \frac{25}{2} = 12.5\]

Теперь подставим значение y в одно из уравнений, чтобы найти x. Подставим в первое уравнение:

\[-x + 42(12.5) = 15\] \[-x + 525 = 15\] \[-x = 15 - 525\] \[-x = -510\] \[x = 510\]

Итак, решение системы уравнений: x = 510, y = 12.5

Графически, это означает, что две прямые пересекаются в одной точке.

Ответ: одно решение

Ты молодец! У тебя всё получится!