Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть координата точки К равна \(k = -2\). Пусть координата точки Р равна \(p\), а точки М равна \(m\). По условию задачи \(PM = 10\) и \(KP = 3KM\).
Из условия \(PM = 10\) следует, что \(|p - m| = 10\), то есть \(p - m = 10\) или \(p - m = -10\).
Из условия \(KP = 3KM\) следует, что \(|p - k| = 3|m - k|\). Подставляем \(k = -2\): \(|p - (-2)| = 3|m - (-2)|\), что равно \(|p + 2| = 3|m + 2|\).
Возводим обе части в квадрат: \((p + 2)^2 = 9(m + 2)^2\).
\(p^2 + 4p + 4 = 9(m^2 + 4m + 4)\)
\(p^2 + 4p + 4 = 9m^2 + 36m + 36\)
\(p^2 + 4p - 9m^2 - 36m - 32 = 0\)
Рассмотрим два случая для \(p - m\):
Случай 1: \(p - m = 10 \rightarrow p = m + 10\)
Подставляем \(p = m + 10\) в уравнение \((p + 2)^2 = 9(m + 2)^2\):
\(((m + 10) + 2)^2 = 9(m + 2)^2\)
\((m + 12)^2 = 9(m + 2)^2\)
\(m^2 + 24m + 144 = 9(m^2 + 4m + 4)\)
\(m^2 + 24m + 144 = 9m^2 + 36m + 36\)
\(8m^2 + 12m - 108 = 0\)
Делим на 4: \(2m^2 + 3m - 27 = 0\)
Находим корни квадратного уравнения для \(m\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225 \]
\[ m = \frac{-3 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 15}{4} \]
\(m_1 = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3\)
\(m_2 = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -4.5\)
Если \(m_1 = 3\), то \(p_1 = m_1 + 10 = 3 + 10 = 13\).
Если \(m_2 = -4.5\), то \(p_2 = m_2 + 10 = -4.5 + 10 = 5.5\).
Случай 2: \(p - m = -10 \rightarrow p = m - 10\)
Подставляем \(p = m - 10\) в уравнение \((p + 2)^2 = 9(m + 2)^2\):
\(((m - 10) + 2)^2 = 9(m + 2)^2\)
\((m - 8)^2 = 9(m + 2)^2\)
\(m^2 - 16m + 64 = 9(m^2 + 4m + 4)\)
\(m^2 - 16m + 64 = 9m^2 + 36m + 36\)
\(8m^2 + 52m - 28 = 0\)
Делим на 4: \(2m^2 + 13m - 7 = 0\)
Находим корни квадратного уравнения для \(m\) с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 \]
\[ m = \frac{-13 \pm \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{-13 \pm 15}{4} \]
\(m_3 = \frac{-13 + 15}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\)
\(m_4 = \frac{-13 - 15}{4} = \frac{-28}{4} = -7\)
Если \(m_3 = 0.5\), то \(p_3 = m_3 - 10 = 0.5 - 10 = -9.5\).
Если \(m_4 = -7\), то \(p_4 = m_4 - 10 = -7 - 10 = -17\).
Получаем пары координат \((p, m)\): (13, 3), (5.5, -4.5), (-9.5, 0.5), (-17, -7).
Расположим ответы в порядке возрастания координат точек Р:
1. \(p = -17\), \(m = -7\)
2. \(p = -9.5\), \(m = 0.5\)
3. \(p = 5.5\), \(m = -4.5\)
4. \(p = 13\), \(m = 3\)
Ответ: 1. P(-17) и M(-7), или 2. P(-9.5) и M(0.5), или 3. P(5.5) и M(-4.5), или 4. P(13) и M(3).
