17. Дана трапеция ABCD, где AD = 12, ВС = 4, а площадь равна 40. В этой трапеции провели среднюю линию MN. Найди площадь трапеции BCNM.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой площади трапеции и свойствами средней линии трапеции.

1. Вспомним формулу площади трапеции: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ — основания трапеции, а $$h$$ — высота.
2. Выразим высоту трапеции ABCD:

   Площадь трапеции ABCD известна (40), а также известны длины оснований AD и BC. Подставим известные значения в формулу площади и выразим высоту.

   $$40 = \frac{12 + 4}{2} \cdot h$$ $$40 = \frac{16}{2} \cdot h$$ $$40 = 8 \cdot h$$ $$h = \frac{40}{8}$$ $$h = 5$$

   Высота трапеции ABCD равна 5.

3. Найдем среднюю линию трапеции ABCD:

   Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

   $$MN = \frac{AD + BC}{2} = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$$

   Средняя линия MN равна 8.

4. Найдем высоту трапеции BCNM:

   Т.к. MN - средняя линия трапеции ABCD, то она делит высоту трапеции пополам. Следовательно, высота трапеции BCNM равна половине высоты трапеции ABCD.

   $$h_{BCNM} = \frac{h}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$$
5. Вычислим площадь трапеции BCNM:

   Основания трапеции BCNM - это BC и MN. Подставим известные значения в формулу площади трапеции.

   $$S_{BCNM} = \frac{BC + MN}{2} \cdot h_{BCNM} = \frac{4 + 8}{2} \cdot 2.5 = \frac{12}{2} \cdot 2.5 = 6 \cdot 2.5 = 15$$

Ответ: 15