Дана трапеция MNKL, у которой MN = 5, NL = 29, ML = 30. Найди площадь данной трапеции, если NK = 16.

Решим задачу.

Площадь трапеции можно найти по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$, где $$a$$ и $$b$$ – основания трапеции, $$h$$ – высота.

В данном случае, $$MN$$ и $$KL$$ – основания трапеции. Пусть $$MN = a = 5$$, тогда $$KL = NK = b = 16$$.

Проведем высоты $$MH$$ и $$LT$$ к основанию $$KL$$. Тогда $$HT = MN = 5$$. Обозначим $$KH = x$$, тогда $$TL = 16 - 5 - x = 11 - x$$.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $$\triangle MНК$$ и $$\triangle LTN$$.

В $$\triangle MНК$$: $$MH^2 = ML^2 - KH^2 = 30^2 - x^2 = 900 - x^2$$.

В $$\triangle LTN$$: $$LT^2 = NL^2 - TL^2 = 29^2 - (11 - x)^2 = 841 - (121 - 22x + x^2) = 720 + 22x - x^2$$.

Так как $$MH = LT$$, то $$MH^2 = LT^2$$, следовательно:

$$900 - x^2 = 720 + 22x - x^2$$

$$180 = 22x$$

$$x = \frac{180}{22} = \frac{90}{11}$$

Теперь найдем высоту $$MH$$:

$$MH^2 = 900 - (\frac{90}{11})^2 = 900 - \frac{8100}{121} = \frac{108900 - 8100}{121} = \frac{100800}{121}$$

$$MH = \sqrt{\frac{100800}{121}} = \frac{\sqrt{100800}}{11} = \frac{\sqrt{14400 \cdot 7}}{11} = \frac{120\sqrt{7}}{11}$$

Теперь найдем площадь трапеции:

$$S = \frac{5 + 16}{2} \cdot \frac{120\sqrt{7}}{11} = \frac{21}{2} \cdot \frac{120\sqrt{7}}{11} = \frac{2520\sqrt{7}}{22} = \frac{1260\sqrt{7}}{11} \approx 816.47$$

Проверим решение:

$$KH = x = \frac{90}{11} \approx 8.18$$

$$TL = 11 - x = 11 - \frac{90}{11} = \frac{121 - 90}{11} = \frac{31}{11} \approx 2.82$$

$$MH^2 = 30^2 - (\frac{90}{11})^2 = 900 - \frac{8100}{121} = \frac{100800}{121} \approx 833.06$$

$$LT^2 = 29^2 - (\frac{31}{11})^2 = 841 - \frac{961}{121} = \frac{101761 - 961}{121} = \frac{100800}{121} \approx 833.06$$

Теперь, когда мы убедились, что расчеты верны, найдем площадь трапеции, если высоту мы вычислили точно:

Для нахождения высоты воспользуемся формулой Герона для нахождения площади треугольника MLN.

Полупериметр треугольника MLN:

$$p = \frac{5 + 29 + 30}{2} = \frac{64}{2} = 32$$

Площадь треугольника MLN:

$$S_{\triangle MLN} = \sqrt{32(32-5)(32-29)(32-30)} = \sqrt{32 \cdot 27 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{5184} = 72$$

Высота, проведенная из вершины L к стороне MN:

$$h = \frac{2S}{MN} = \frac{2 \cdot 72}{5} = \frac{144}{5} = 28.8$$

Площадь трапеции:

$$S = \frac{5 + 16}{2} \cdot 28.8 = \frac{21}{2} \cdot 28.8 = 21 \cdot 14.4 = 302.4$$

Ответ: 302.4