Дана треугольная пирамида SABC с вершиной S, в основании которой лежит правильный треугольник ABC. Отрезки AM, BN и CP являются медианами, точка O — точка пересечения медиан. Отрезок SA перпендикулярен плоскости основания. Выберите из предложенного списка пары перпендикулярных прямых. 1) прямые OB и AC 2) прямые BN и CP 3) прямые CP и AB 4) прямые SA и SB 5) прямые SN и NC В ответе запишите номера выбранных пар прямых без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение:

Дана треугольная пирамида SABC, где SA перпендикулярна плоскости основания ABC. Основание ABC — правильный треугольник. AM, BN, CP — медианы, O — точка их пересечения.

Рассмотрим пары прямых на перпендикулярность:

• 1) прямые OB и AC: В правильном треугольнике ABC медиана BO является также высотой к стороне AC, следовательно, $$BO \perp AC$$. Так как SA перпендикулярно плоскости основания, то SA перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, включая AC. Из этого следует, что AC перпендикулярна плоскости, содержащей SA и BO, но это не гарантирует перпендикулярность OB и AC. Однако, в правильном треугольнике медиана совпадает с высотой, поэтому $$BO \perp AC$$.
• 2) прямые BN и CP: Это две медианы в треугольнике ABC. Медианы треугольника, вообще говоря, не перпендикулярны.
• 3) прямые CP и AB: В правильном треугольнике ABC медиана CP также является высотой к стороне AB, следовательно, $$CP \perp AB$$.
• 4) прямые SA и SB: SA перпендикулярно плоскости основания. SB — это боковое ребро. SA не перпендикулярно SB.
• 5) прямые SN и NC: SN — медиана грани SBC, NC — сторона основания. Они не перпендикулярны.

Проверим варианты, где есть перпендикулярность прямых:

1. $$OB \perp AC$$ (так как BO — медиана и высота в равностороннем треугольнике).

3. $$CP \perp AB$$ (так как CP — медиана и высота в равностороннем треугольнике).

Итак, перпендикулярные пары прямых — это 1 и 3.

Ответ: 13