Дана треугольная пирамида SABC с вершиной в точке S. Треугольник АВС равносторонний с центром точке О. Отрезок SO перпендикулярен плоскости основания. Известно, что АB = 6, a SA = 4√3. Найдите расстояние от точки S до плоскости ABC.

Пошаговое решение:

1. Так как треугольник ABC равносторонний, центр O является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. AO составляет 2/3 медианы.
2. Медиана равностороннего треугольника также является его высотой и может быть найдена по формуле: \[ m = \frac{a\sqrt{3}}{2} \], где a — сторона треугольника. В нашем случае, a = 6, поэтому: \[ m = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \]
3. Теперь найдем AO: \[ AO = \frac{2}{3} m = \frac{2}{3} \cdot 3\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAO. По теореме Пифагора: \[ SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} \]
5. Подставим известные значения: \[ SO = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{48 - 12} = \sqrt{36} = 6 \]

Ответ: 6