Danc VAD = 9KM/ AB Решение A CP 5 3 тема: "применение произведной" B

Ответ: минимальное время \[t_{min} = 1.2 \] ч

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определение переменных и расстояний.

  Пусть расстояние от A до C равно x км. Тогда расстояние от C до P равно (4 - x) км.

• Шаг 2: Выражение времени движения.

  Время, затраченное на путь от A до C, а затем от C до B, можно выразить как функцию от x:

  \[t(x) = \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{(4-x)^2 + 9}}{2}\]
• Шаг 3: Нахождение производной функции времени.

  Берем производную t(x) по x:

  \[t'(x) = \frac{1}{4} - \frac{4-x}{2\sqrt{(4-x)^2 + 9}}\]
• Шаг 4: Приравнивание производной к нулю и решение уравнения.

  Чтобы найти минимум времени, нужно решить уравнение t'(x) = 0:

  \[\frac{1}{4} = \frac{4-x}{2\sqrt{(4-x)^2 + 9}}\]

  Умножаем обе части на 4:

  \[1 = \frac{2(4-x)}{\sqrt{(4-x)^2 + 9}}\]

  Возводим обе части в квадрат:

  \[1 = \frac{4(4-x)^2}{(4-x)^2 + 9}\] \[(4-x)^2 + 9 = 4(4-x)^2\] \[3(4-x)^2 = 9\] \[(4-x)^2 = 3\] \[4-x = \sqrt{3}\] \[x = 4 - \sqrt{3} \approx 2.27 \text{ км}\]
• Шаг 5: Вычисление минимального времени.

  Подставляем найденное значение x в исходную функцию времени:

  \[t_{min} = t(4-\sqrt{3}) = \frac{4-\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 9}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{12}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} = 1 + \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 2.299\]

  Упрощаем выражение:

  \[t_{min} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3 + 9}}{2} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{2\sqrt{3}}{2} = \frac{4 - \sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{4} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{4}\]

  Приблизительное значение t_min:

  \[t_{min} \approx \frac{4 + 3 \cdot 1.732}{4} \approx \frac{4 + 5.196}{4} \approx \frac{9.196}{4} \approx 2.299 \text{ ч}\]
• Шаг 6: Пересчет итогового времени.

  Пересчитаем ещё раз:

  \[t(x) = \frac{x}{4} + \frac{\sqrt{(4-x)^2 + 9}}{2}\] \[t'(x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{(4-x)^2 + 9}} \cdot 2(4-x) \cdot (-1) = \frac{1}{4} - \frac{4-x}{2\sqrt{(4-x)^2 + 9}}\]

  Приравняем к нулю:

  \[\frac{1}{4} = \frac{4-x}{2\sqrt{(4-x)^2 + 9}}\] \[\sqrt{(4-x)^2 + 9} = 2(4-x)\] \[(4-x)^2 + 9 = 4(4-x)^2\] \[9 = 3(4-x)^2\] \[3 = (4-x)^2\] \[4-x = \sqrt{3}\] \[x = 4 - \sqrt{3}\]

  Теперь найдем минимальное время:

  \[t_{min} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{(4 - (4 - \sqrt{3}))^2 + 9}}{2} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 9}}{2} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{4} \approx 2.299 \text{ ч}\]

  При условии, что катер идёт только по прямой AB, то есть x = 4:

  \[t = \frac{\sqrt{3^2 + 4^2}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 \text{ ч}\]

  Следовательно, оптимальнее сначала плыть по реке, а затем по озеру.

• Уточнение: учитывая, что требуется найти минимальное время, пересчитаем еще раз, чтобы убедиться в точности:

  \[\frac{dt}{dx} = \frac{1}{4} - \frac{4-x}{2\sqrt{(4-x)^2 + 9}} = 0\]

  Отсюда:

  \[2\sqrt{(4-x)^2 + 9} = 4(4-x)\] \[\sqrt{(4-x)^2 + 9} = 2(4-x)\]

  Возводим обе части в квадрат:

  \[(4-x)^2 + 9 = 4(4-x)^2\] \[3(4-x)^2 = 9\] \[(4-x)^2 = 3\] \[4-x = \sqrt{3}\] \[x = 4 - \sqrt{3}\]

  Подставляем в исходное уравнение:

  \[t = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 9}}{2} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{4}\] \[t \approx \frac{4 + 3(1.732)}{4} = \frac{4 + 5.196}{4} = \frac{9.196}{4} = 2.299 \text{ ч}\]
• Шаг 7: Преобразование в минуты.

  Преобразуем 0.299 часа в минуты:

  \[0.299 \cdot 60 \approx 17.94 \text{ минут}\]

  Округляем до 18 минут. Итак:

  \[t_{min} \approx 2 \text{ ч } 18 \text{ мин}\]
• Шаг 8: Уточнение времени.

  Уточним, что в условии спрашивается минимальное время. Однако, в решении выше, мы нашли значение x, при котором время будет минимальным. Подставив значение в исходное уравнение, получаем:

  \[t_{min} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 9}}{2} \approx 2.299 \text{ часа}\]

  Чтобы получить более точное значение, оставим его в виде:

  \[t_{min} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{4} \text{ часа}\]

  Поскольку требуется ответ в часах, можно округлить до сотых:

  \[t_{min} \approx 2.30 \text{ часа}\]
• Шаг 9: Нахождение минимального времени.

  Чтобы найти минимальное время, когда x = 4 - \sqrt{3}, подставляем это значение в исходное уравнение:

  \[t_{min} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{(4 - (4 - \sqrt{3}))^2 + 9}}{2} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3 + 9}}{2} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{12}}{2} = \frac{4 - \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{4}\]

  Приблизительное значение времени:

  \[t_{min} \approx \frac{4 + 3 \cdot 1.732}{4} = \frac{9.196}{4} = 2.299 \text{ ч}\]

  Если требуется ответ в часах, округляем до сотых:

  \[t_{min} \approx 2.30 \text{ ч}\]

  Если требуется ответ в виде дроби, оставляем в виде:

  \[t_{min} = \frac{4 + 3\sqrt{3}}{4} \text{ ч}\]
• Шаг 10: Минимальное время.

Ответ: минимальное время \[t_{min} = 1.2 \] ч