Дано: \(\triangle ABC\), \(AM = MC\); \(CN = BN\), \(\angle CMN = 46^\circ\). Найти: \(AB\); \(\angle A\). Решение.

Решение:

Смотри, тут всё просто: MN - средняя линия \(\triangle ABC\). Это значит, что MN || AB.

Логика такая:

1. Угол \(\angle C\) равен углу \(\angle CMN\) как соответственные углы при параллельных прямых MN и AB и секущей AC: \[\angle C = \angle CMN = 46^\circ\]
2. Угол \(\angle MNB\) и угол \(\angle NBA\) - соответственные углы при параллельных прямых MN и AB и секущей BC. Значит, они равны. Так как \(\triangle CMN\) подобен \(\triangle CAB\) с коэффициентом подобия 0.5 (по условию AM=MC, CN=BN), то: \[\angle CAB = \angle CMN = 46^\circ\]
3. Теперь мы знаем два угла в \(\triangle ABC\), значит, можем найти угол B: \[\angle B = 180^\circ - \angle C - \angle A = 180^\circ - 46^\circ - 46^\circ = 88^\circ\]
4. Ответ: \[\angle A = 46^\circ, \angle B = 88^\circ, \angle C = 46^\circ\]