Дано: \(\triangle ABC\) Найти: \(BD, AC, AB\)

Решение:

Давай внимательно рассмотрим задачу по геометрии. Нам дан прямоугольный треугольник \(\triangle ABC\) с высотой \(BD\), и мы должны найти длины сторон \(BD\), \(AC\) и \(AB\). Угол \(\angle B = 30^\circ\) и длина отрезка \(AD = 4\).

1. Рассмотрим \(\triangle ABD\):

\(\triangle ABD\) - прямоугольный, так как \(BD\) - высота.

Мы знаем, что \(\angle ABD = 30^\circ\) и \(AD = 4\).

В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы. Но у нас есть прилежащий катет. Здесь нам понадобится тангенс угла.

\(\tan(\angle ABD) = \frac{AD}{BD}\)

\(\tan(30^\circ) = \frac{AD}{BD}\)

Мы знаем, что \(\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}\), следовательно:

\(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{BD}\)

Отсюда:

\(BD = 4\sqrt{3}\)

2. Найдем гипотенузу \(AB\) в \(\triangle ABD\):

Используем косинус угла \(\angle ABD\):

\(\cos(\angle ABD) = \frac{BD}{AB}\)

\(\cos(30^\circ) = \frac{4\sqrt{3}}{AB}\)

Мы знаем, что \(\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно:

\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{AB}\)

Отсюда:

\(AB = \frac{4\sqrt{3} \cdot 2}{\sqrt{3}} = 8\)

3. Рассмотрим \(\triangle ABC\):

\(\sin(\angle BAC) = \frac{BD}{AB}\)

\(\sin(\angle BAC) = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Отсюда \(\angle BAC = 60^\circ\)

Следовательно, \(\angle ACB = 30^\circ\)

4. Найдем \(BC\):

\(\tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AB}\)

\(\tan(60^\circ) = \frac{BC}{8}\)

Мы знаем, что \(\tan(60^\circ) = \sqrt{3}\), следовательно:

\(\sqrt{3} = \frac{BC}{8}\)

Отсюда:

\(BC = 8\sqrt{3}\)

5. Найдем \(AC\) по теореме Пифагора:

\(AC^2 = AB^2 + BC^2\)

\(AC^2 = 8^2 + (8\sqrt{3})^2 = 64 + 64 \cdot 3 = 64 + 192 = 256\)

\(AC = \sqrt{256} = 16\)

Ответ: \(BD = 4\sqrt{3}\), \(AC = 16\), \(AB = 8\)

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!