1. Дано: \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), \(A_1B_1 = 12\) см, \(B_1C_1 = 14\) см, \(A_1C_1 = 16\) см, \(AC = 4\) см - меньшая сторона \(\triangle ABC\), \(\angle A = \angle A_1\). Найти: \(AB\) и \(BC\). 2. В треугольнике \(ABC\) со сторонами \(AC = 12\) см и \(AB = 18\) см проведена прямая \(MN\), параллельная \(AC\) (\(M \in AB\), \(N \in BC\)), \(MN = 9\) см. Найдите \(BM\). 3. Дано: \(ABCD\) - параллелограмм (рис. 36.2), \(AL:LC = 7:5\), \(AB = 15\) см. Найдите: a) \(BM\); б) отношение площадей треугольников \(AML\) и \(CDL\).

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии.

Задача 1

Дано, что \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\) и \(AC\) - меньшая сторона \(\triangle ABC\). Значит, \(AC\) соответствует стороне \(A_1B_1\) или \(B_1C_1\) или \(A_1C_1\). Т.к. \(AC = 4\) см, то она должна соответствовать наименьшей стороне подобного треугольника, т.е. \(A_1B_1 = 12\) см.

Поскольку треугольники подобны, отношения соответствующих сторон равны. Найдем коэффициент подобия \(k\):

\[k = \frac{AC}{A_1B_1} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

Теперь найдем стороны \(AB\) и \(BC\), зная, что они соответствуют сторонам \(A_1C_1 = 16\) и \(B_1C_1 = 14\) соответственно:

\[AB = k \cdot A_1C_1 = \frac{1}{3} \cdot 16 = \frac{16}{3} \approx 5.33 \text{ см}\] \[BC = k \cdot B_1C_1 = \frac{1}{3} \cdot 14 = \frac{14}{3} \approx 4.67 \text{ см}\]

Ответ: \(AB = \frac{16}{3}\) см, \(BC = \frac{14}{3}\) см

Задача 2

В \(\triangle ABC\) дано, что \(MN \parallel AC\), \(AC = 12\) см, \(AB = 18\) см, \(MN = 9\) см. Нужно найти \(BM\).

Поскольку \(MN \parallel AC\), \(\triangle MBN \sim \triangle ABC\). Значит, отношения соответствующих сторон равны:

\[\frac{MN}{AC} = \frac{MB}{AB}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{9}{12} = \frac{MB}{18}\]

Решим уравнение для \(MB\):

\[MB = \frac{9 \cdot 18}{12} = \frac{3 \cdot 18}{4} = \frac{3 \cdot 9}{2} = \frac{27}{2} = 13.5 \text{ см}\]

Ответ: \(BM = 13.5\) см

Задача 3

В параллелограмме \(ABCD\) дано \(AL:LC = 7:5\), \(AB = 15\) см. Нужно найти \(BM\) и отношение площадей \(\triangle AML\) и \(\triangle CDL\).

a) Чтобы найти \(BM\), нам нужно понять, как точка \(L\) связана с точкой \(M\). Без рисунка 36.2 сложно сказать наверняка. Предположим, что \(L\) лежит на \(AD\), а \(M\) - точка пересечения \(AL\) с \(BC\). Тогда, т.к. \(ABCD\) - параллелограмм, \(AD = BC\).

По условию \(AL:LC = 7:5\). Пусть \(AL = 7x\) и \(LC = 5x\). Тогда \(AC = 12x\).

Т.к. \(ABCD\) параллелограмм, то \(BC = AD\). Если \(L\) лежит на \(AD\), то \(AD = AL + LD\). Опять же, без рисунка сложно сказать что-то более конкретное. Если предположить, что \(M\) лежит на \(AD\), то задача не имеет решения без дополнительных данных.

б) Рассмотрим отношение площадей треугольников \(AML\) и \(CDL\). Так как \(ABCD\) - параллелограмм, то \(AL\) и \(LC\) лежат на одной прямой. Предположим, что точка L лежит на стороне DC. \(\frac{AL}{LC} = \frac{7}{5}\). Т.к. \(\triangle AML \sim \triangle CDL\), то отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{AML}}{S_{CDL}} = \left(\frac{AL}{LC}\right)^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25}\]

Ответ: Отношение площадей \(\frac{49}{25}\). Для нахождения \(BM\) нужно больше информации или рисунок.