1. Дано: ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, A₁B₁ = 12 см, B₁C₁ = 14 см, A₁C₁ = 16 см, AC = 4 см - мень- шая сторона ΔABC, ∠A = ∠A₁. Найти: AB и BC. 2. В треугольнике ABC со сторонами AC = 12 см и AB = 18 см проведена прямая MN, параллельная AC (M∈ AB, N∈ BC), MN = 9 см. Найдите ВМ. 3. Дано: ABCD -- параллелограмм (рис. 36.2), AL:LC = 7:5, AB = 15 см. Найдите: a) BM; б) отношение площадей треугольников AML и CDL.

1. Подобие треугольников

Давай разберем эту задачу по порядку. У нас есть два подобных треугольника: ΔABC и ΔA₁B₁C₁. Мы знаем длины сторон A₁B₁, B₁C₁, A₁C₁ и AC, а также то, что ∠A = ∠A₁.

Поскольку треугольники подобны, отношения соответствующих сторон равны. Запишем эти отношения:

\[\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}\]

Мы знаем, что AC = 4 см, A₁C₁ = 16 см, A₁B₁ = 12 см, B₁C₁ = 14 см. Подставим известные значения:

\[\frac{AB}{12} = \frac{BC}{14} = \frac{4}{16}\]

Упростим отношение \(\frac{4}{16}\):

\[\frac{4}{16} = \frac{1}{4}\]

Теперь найдем AB и BC:

Для AB:

\[\frac{AB}{12} = \frac{1}{4}\] \[AB = 12 \cdot \frac{1}{4} = 3 \text{ см}\]

Для BC:

\[\frac{BC}{14} = \frac{1}{4}\] \[BC = 14 \cdot \frac{1}{4} = 3.5 \text{ см}\]

Ответ: AB = 3 см, BC = 3.5 см

---

2. Параллельные прямые в треугольнике

Рассмотрим треугольник ABC, в котором AC = 12 см, AB = 18 см, и MN параллельна AC, причем MN = 9 см. Наша задача - найти BM.

Поскольку MN параллельна AC, треугольники ΔMBN и ΔABC подобны. Следовательно, отношения соответствующих сторон равны:

\[\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC}\]

Подставим известные значения:

\[\frac{BM}{18} = \frac{9}{12}\]

Упростим отношение \(\frac{9}{12}\):

\[\frac{9}{12} = \frac{3}{4}\]

Теперь найдем BM:

\[\frac{BM}{18} = \frac{3}{4}\] \[BM = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = 13.5 \text{ см}\]

Ответ: BM = 13.5 см

---

3. Параллелограмм

Рассмотрим параллелограмм ABCD, в котором AL:LC = 7:5 и AB = 15 см. Нам нужно найти BM и отношение площадей треугольников AML и CDL.

а) Найдем BM

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Значит, BC = AD и AB || CD.

Так как AL:LC = 7:5, мы можем выразить AL и LC через переменную x:

\[AL = 7x, \quad LC = 5x\]

Тогда AD = AL + LC = 7x + 5x = 12x. Следовательно, BC = 12x.

Рассмотрим треугольники ΔAML и ΔCDL. У них ∠AML = ∠DLC как вертикальные углы, и ∠MAL = ∠LCD как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC. Следовательно, ΔAML ~ ΔCDL по двум углам.

Отношение сторон AL и LC равно 7:5, значит, коэффициент подобия k равен 7/5.

Так как ΔAML ~ ΔCDL, то \(\frac{AM}{CD} = \frac{AL}{LC} = \frac{7}{5}\). Значит, \(AM = \frac{7}{5}CD\).

Поскольку CD = AB = 15 см, то \(AM = \frac{7}{5} \cdot 15 = 21 \text{ см}\). Но AM не может быть больше, чем AD. Тут есть какое-то противоречие.

Предположим, что L лежит на продолжении стороны AD. Тогда, пусть AL = 7x, LC = 5x, тогда AC = AL - LC = 2x.

Так как AD = BC, то AD = 12x. Значит, CD = 15 см.

Далее, \(\frac{BM}{AD} = \frac{5}{12}\) (так как подобие треугольников ΔBCL и ΔBAL), тогда \(BM = \frac{5}{12} AD\).

Пусть AL:LC = 7:5, тогда AD = AL + LD = 7 + 5 = 12 частей.

Нам нужно найти BM, а не дано никаких соотношений для этого.

Предположим, что точка L лежит на стороне AD, тогда \(\frac{AL}{LC} = \frac{7}{5}\). Так как AL + LC = AD = BC, и AB = CD = 15 см.

Задача поставлена некорректно, так как нет данных для нахождения BM.

б) Отношение площадей треугольников AML и CDL

Поскольку треугольники ΔAML и ΔCDL подобны, отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

\[\frac{S_{AML}}{S_{CDL}} = k^2 = \left(\frac{AL}{LC}\right)^2 = \left(\frac{7}{5}\right)^2 = \frac{49}{25}\]

Ответ:

а) Недостаточно данных для нахождения BM.

б) Отношение площадей треугольников AML и CDL равно 49/25.