Дано: Ѕполн. = 378. Найти А₁А₁'.

Для решения задачи необходимо определить, какая фигура изображена на рисунке. Судя по всему, это прямая треугольная призма. Площадь полной поверхности призмы состоит из площади боковой поверхности и удвоенной площади основания.

Основанием призмы является треугольник A₁A₂A₃. Длины сторон верхнего треугольника A₁'A₂'A₃' известны: A₁'A₂' = 13, A₁'A₃' = 14, A₂'A₃' = 15.

Так как призма прямая, то A₁A₂ = A₁'A₂' = 13, A₁A₃ = A₁'A₃' = 14, A₂A₃ = A₂'A₃' = 15.

Площадь основания (треугольника) можно найти по формуле Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр, a, b, c - стороны треугольника.

Сначала найдем полупериметр:

$$p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

Теперь вычислим площадь основания:

$$S_{осн} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$

Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности:

$$S_{полн} = 2S_{осн} + S_{бок}$$

Площадь боковой поверхности равна сумме площадей трех прямоугольников. Площадь каждого прямоугольника равна произведению стороны основания на высоту призмы (A₁A₁'). Обозначим высоту призмы за h.

$$S_{бок} = (13 + 14 + 15) \cdot h = 42h$$

Подставим известные значения в формулу площади полной поверхности:

$$378 = 2 \cdot 84 + 42h$$ $$378 = 168 + 42h$$ $$42h = 378 - 168$$ $$42h = 210$$ $$h = \frac{210}{42} = 5$$

Таким образом, длина отрезка A₁A₁' равна 5.

Ответ: A₁A₁' = 5