5. Дано: ∠1=∠2; BD⊥AC; AC – биссектриса ∠BAE (рис. 3.54). Доказать: BC||AE.

Краткое пояснение

Рассмотрим рисунок 3.54 и докажем, что BC || AE:

1. Дано: ∠1 = ∠2, BD ⊥ AC, AC - биссектриса ∠BAE.
2. Т.к. AC - биссектриса ∠BAE, то ∠BAC = ∠CAE.
3. Т.к. BD ⊥ AC, то ∠BDA = ∠BDC = 90°.
4. Рассмотрим треугольники ΔBDA и ΔBDC:
• BD - общая сторона,
• ∠BDA = ∠BDC = 90°,
• ∠1 = ∠2 (по условию).
5. Следовательно, ΔBDA = ΔBDC (по гипотенузе и острому углу).
6. Из равенства треугольников следует, что AD = CD.
7. Рассмотрим треугольники ΔBAC и ΔEAC:
• AC - общая сторона,
• ∠BAC = ∠CAE (доказано выше),
• AD = CD (доказано выше).
8. Следовательно, ΔBAC = ΔEAC (по двум сторонам и углу между ними).
9. Из равенства треугольников следует, что ∠BCA = ∠CAE.
10. Т.к. углы ∠BCA и ∠CAE равны и являются накрест лежащими углами при прямых BC и AE и секущей AC, то BC || AE.

Ответ: BC || AE доказано.

Проведи прямую, пересекающую BC и AE, и убедись, что соответственные углы равны.

Уровень Эксперт: Используй свойства биссектрис и перпендикуляров для поиска равных углов и сторон.